SÉANCE DU 27 OCTOBRE 1919. 7^9 



OÙ les jc, sont des nombres quelconques réels ou imaginaires, et les e, des 

 symboles vérifiant une loi de multiplication 



e„.r„=z y ,i/'\ei. 



(2) ^p'^''/-'j^ 



i 



Au sujet de recherches d'ordre arithmétique, sur les substitutions à coef- 

 ficients rationnels ou entiers (mod/>) et sur les nombres algébriques, j'ai été 

 amené à étudier des systèmes de nombres hypercomplexes, où les x ne sont 

 plus nécessairement des nombres, mais des éléments d'un corps quel- 

 conque R. 



1 Je considère donc un « corps » R (au sens de Veber) (domaine orthoïde, 

 ou pseudo-orthoïde, au sens de Konig), où la multiplication et l'addition 

 vérifient les règles habituelles, avec existence d'un élément nul o et d un 

 élément unité i ; la division y est toujours possible, sauf par l'élément nul 

 (pas de diviseur de o), mais/> éléments identiques, non nuls, peuvent avoir 

 une somme nulle. Dans un tel corps, les polynômes à plusieurs variables 

 vérifient toujours les règles habituelles de divisibilité. J'admets en outre 

 qu'on sait vérifier par un nombre fini d'opérations déterminées si un poly- 

 nôme de R est irréductible ou décomposable. 



Le système ou « domaine » O des quantités hypercomplexes est constitué 

 par tous les symboles de la forme (i), la multiplication des e étant définie par 

 les formules (2) et les x et les 11 étant des nombres de R, qu'on appellera 

 scalaires, par opposition aux X appelés hypercomplexes. On admet que l'un 

 des X est égal à i, de façon que le domaine 12 contienne le corps li. linhn 

 les u sont supposés tels que la multipHcation des X soit associative, et 

 même, dans la présente Note, commu/alive. 



Dans ces conditions, on peut faire correspondre aux termes X des substi- 

 tutions à coefficients scalaires d'ordre n permutables entre elles ; aux ope- 

 rations sur les X correspondent les mêmes opérations sur les substitutions 

 et aux scalaires correspondent les « systèmes simples». Réciproquement, 

 l'étude d'un système de substitutions, à coefficients dans R, permutables 

 entre elles, peut évidemment être considérée comme l'étude d'un système 

 de nombres hypercomplexes. 



Dans le cas où le domaine O ne renferme pas de diviseurs de o, on peut 

 établir, en généralisant la propriété bien connue de Galois, que le corps O 

 peut être engendré par les fonctions entières, à coefficients scalaires, défi- 

 nies au module F(x) près, d'un élément I du corps, annulant lui-même le 

 polynôme F, à coefficients scalaires et irréductible dans R. 



