7'0 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



2. S'il y a dans il des diviseurs de o (qui multipliés par un terme conve- 

 nable donnent o), il leur correspond des substitutions du déterminant nul. 



On peut appeler « idéal » (ou sous-système invariant, d'après M. Cartan) 

 un ensemble de termes de 12, comprenant la somme et la différence de deux 

 quelconques d'entre eux et le produit de l'un quelconque de ces termes par 

 tout terme de ('). Un idéal est confondu avec il ou ne contient que des 

 diviseurs de o. L'ensemble des multiples d'un diviseur de o est un idéal 

 pai'ticuliei- qu'on peut encore appeler yom^rv/)^/. 



On peut répartir les termes de il en « classes » suivant un idéal A et 

 définir des opérations sur ces classes. 



Enfin un idéal A est dit premier s'il n'est inclus dans aucun o, ce qui 

 revient à dire que toute classe, suivant A, contient au moins un terme non 

 diviseur de o. Les classes, suivant A, considérées comme éléments, cons- 

 tituent alors un système de nombres hypercomplexes dans R, ne contenant 

 pas de diviseurs de o, donc engendré par les fonctions entières de l'une 

 d'entre elles, /(I). f(x) est un polynôme à coefficients scalaires, défini à un 

 multiple près d'un polynôme F,(a' ), irréductible. 



3. On peut établir que, dans 1>, il y a un nombre fini d'idéaux pre- 

 miers A,, A.,, . . ., A/, et tout autre idéal de il est contenu dans l'un d'eux 

 au moins. L'idéal commun P est formé de tous les termes « pseudo-nuls » 

 (ou nilpotents) de 12, c'est-à-dire dont l'une des puissances est nulle. Les 

 classes suivant P constituent un domaine S, à diviseurs de o, mais décom- 

 posahle (au sens de M. Cartan) en domaines S,, S,, ..., S/, sans diviseurs 

 de o et dont la constitution est respectivement la même que celle des sys- 

 tèmes de classes suivant A,, A,, ..., A/.. Cliaque terme de S est d'une 

 seule façon la somme de termes de S,, S,, ..., S/, et le produit de deux 

 termes quelconques de S,, Sy est nul. 



4. On peut encore préciser ce résultat en montrant qu'on peut trouver 

 des idéaux B,, B., . . . , B/. inclus respectivement dans cbacun des A et non 

 dans d'autres, et n'ayant plus en commun que le seul terme nul. I^n 

 opérant comme pour les A, on peut décomposer le système (} lui-môme en 

 systèmes isomorphes (ou homomorphes) respectivement aux systèmes de 

 classes suivant chaque B. 



(*) Cette défiiulion a une analogie nianifesle avec celle des idéaux de Bedckind. 

 D'ailleurs, à un certain point de vue. ces derniers peuvent être considérés comme des 

 cas particuliers de ceux introduits dans la présente \oU-. 



