761 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



■1° Supposons d'abord que D soit constitué par l'ensemble des points 

 extérieurs à une surface fermée, tout entière à distance finie; soient U 

 le potentiel d'une couche en équilibre électrique sur cette surface, U,, la 

 valeur constante qu'elle y prend. La fonction U — U,, mettrait en défaut 

 l'énoncé que nous avons en vue. 

 2" Soit encore la fonction 



AV 



^=0 

 =1 MA^- 



où M désigne le point de la demi-droite Ox d'abscisse ^ et p„ une fonction 

 positive de ce point, telle que (cela nous suffira) l'intégrale 





ait un sens. Une surface W = Wo forme, autour de O.v, une sorte de poche 

 s'étendant à l'infini. Pour le domaine D extérieur à cette poche, la fonc- 

 tion W — W„ invaliderait aussi notre énoncé. 



Pour assurer l'exactitude du résultat désiré, il faut donc restreindre la 

 généralité. D'un point A(a, b, c) intérieur au domaine D, pris comme 

 centre, décrivons une sphère dont nous ferons croître indéfiniment le 

 rayon. Le domaine D découpe sur cette sphère un certain nombre d'aires, 

 qui n'empiètent pas les unes sur les autres; nous ferons l'hypothèse sui- 

 vante : 



Le rapport de la somme de ces aires à l'aire totale de la sphère reste ^ quelque 

 soit A, moindre quun nombre constant k, inférieur à l'unité. Cela posé, 

 soit V(a?, y, z) une fonction harmonique et bornée dans un tel domaine. 

 Je dis que si elle est nulle sur cp, elle l'est en tout point de ce domaine. 



Pour le voir, appelons oïL la borne supérieure de | V | dans D. Je dis que 

 si 311/ n'était pas nulle, la quantité |V| serait, en tout point A de D, 

 moindre que OIlK, ce qui est contraire à la définition de la borne supérieure. 

 En efï'et, considérons le domaine A, formé par les points de D intérieurs à 

 une sphère 1 de centre A, et de rayon supérieur à la valeur Ro qu'on a 

 fait correspondre à ce point dans l'énoncé. Soit Ga(A, M) la fonction 

 de Green de ce domaine : la présence de lignes singulières pour la 

 surface qui le limite ne s'oppose pas à l'existence de cette fonction, comme 

 i^ous le verrons plus loin. Appelons Gv(A, M) la valeur de la fonction de 

 Green de la sphère Z pour le même couple de points A et M. On sait que 



