SÉANCE DU 3 NOVEMBRE lyl^. 765 



la valeur de la fonction de Green pour un couple de points déterminé 

 s'accroît lorsqu'on dilate de toutes parts le domaine. Nous avons donc 



Ga(A, M)<Gv(A, M), 

 et, comme, en un point P, situé sur la surface de 2 et intérieur à D, la 



jn A 



quantité PM-y-^ (M étant un point infiniment voisin de P, sur la normale 



en P à H) est un infiniment petit équivalent à G(A, M), l'inégalité précé- 

 dente entraîne 



Il en résulte aisément que | V ^ | est inférieure au produit de M par le rap- 

 port de la somme des aires découpées par D sur la surface de S, à l'aire 

 totale de cette sphère (c. q. f. d.). 



Il nous reste à montrer qu'il n'y a pas de difficulté à raisonner, pour un 

 domaine tel que A, sur sa fonction de Green et sur sa dérivée normale. 

 Remarquons à cet effet que A peut être regardé comme la limite d'une suite 

 de domaines A,, Ao, ..., A„, ..., limités par des surfaces sans lignes angu- 

 leuses, et tels que chacun d'eux renferme tous les points de ceux qui le pré- 

 cèdent. Dans ces conditions, ces domaines admettent des fonctions de Green 



Ga.(A, M), Ga,(A,M), ..., Ga„(A,M) 



formant une suite croissante dont chaque terme est moindre que -r^ . Cette 



suite admet donc une limite, qui considérée comme une fonction de M 

 dans Apossède les propriétés suivantes : elle est harmonique dans ce domaine, 



s'annule sur sa frontière et devient infinie en A comme -rrr- Nous en 



A Al 



concluons que le domaine A admet une fonction de Green qui n'est autre 



que cette limite. D'ailleurs, dans le cas actuel, on pourra supposer que A et A„^ 



ont même frontière, sauf dans le voisinage des lignes anguleuses de A. Cela 



étant, prenons un point P de la frontière de A, non situé sur une de ces lignes. 



L'étude de la suite croissante 



/^G\ / ^G \ / r/G \ 



établit l'existence d'une limite, qui n'est autre que la dérivée normale de G^» 

 On démontre en outre que si V (x,y^ ~) est une fonction harmonique dans 



