SÉANCE DU 3 NOVEMBRE 1919. 767 



A chaque point de (xy ) ainsi défini, on peut faire correspondre sur (w) 

 un point défini par l'abscisse 



a = o, ^1 3, y.., [32 «3 .... 



Si l'on remarque que tout nombre rationnel de la forme Kî\~", où K et n 

 sont deux entiers positifs quelconques, peut être mis de deux manières dif- 

 férentes sous la forme ci-dessus, on voit immédiatement que les points 

 de (.rr) se répartissent en deux catégories : i°ceux auxquels correspond un 

 seul point sur (w); '2.^ ceux auxquels correspondent deux ou quatre points 

 sur (m). Il en sera de même des points de (m), mais sur ce segment le nombre 

 des points de la deuxième catégorie sera une infinité dénombrable. Quand, 

 dans ia suite, nous parlerons de points qui correspondent sur (m) à certains 

 points de {^y)', ou inversement, nous entendrons toujours par là parler de 

 tous les points que l'on obtient par la correspondance définie plus haut. 



Ceci étant, non?, Siyt^eWQVons sous-segments normauw àe {u) les sous-seg- 

 ments dont les extrémités ont pour abscisses KN"" et (K -h i) N"'*, K et /z 

 étant toujours deux entiers positifs quelconques. De même on appellera élé- 

 ments normaux de {xy) les carrés qui auront pour côtés des sous-segments 

 normaux. A un élément normal de {xy) correspond donc, si l'on fait abs- 

 traction de ses points-frontière, un sous-segment normal de (m). Quant aux 

 points-frontière, ils sont tous tels que l'un des points quileur correspond est 

 dans le mêuie sous-segment normal, mais que les autres points correspon- 

 dants sont dans huit autres sous-segments normaux. Aussi quand nous par- 

 erons d'un carré-élément normal, n'entendrons-noias parla que les points 

 qui y sont intérieurs au sens étroit. De plus, la longueur du sous-segment 

 correspondant est N"-" si N~" est la longueur du côté du carré-élément 

 normal. 



Si donc on trace dans (xy) une courbe rectifiable qui ne soit rencontrée 

 qu'en un nombre dénombrable de points par une parallèle à l'un des axes, 

 il est évident que l'ensemble de points qui lui correspond sur (u) sera de 

 mesure nulle. 



On pourra, en effet, ne considérer que les points de la courbe qui appar- 

 tiennent à la première catégorie [les autres formant ainsi que l'ensemble 

 qui leur correspond sur (u) un ensemble dénombrable | et mesurer l'en- 

 semble qu'ils forment par des carrés-éléments normaux, dont la somme doit 

 tendre vers zéro; il en est donc de même de la somme des sous-segments 

 normaux correspondants. 



Si au lieu de la courbe rectifiable on considérait l'ensemble des portions 



