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de droites que {xy) découpe sur 



OÙ /' prend toutes les valeurs rationnelles entre o et 2, on obtiendrait ainsi 

 un ensemble de points de (u) partout dense et de mesure nulle. 



Plus généralement, si Ton considère dans {xy) un ensemble quelconque 

 E, de mesure superficielle nulle, l'ensemble E qui lui correspond dans (m) 

 sera encore de mesure linéaire nulle. Il est facile de le démontrer en se 

 rappelant qu'il est indifférent de prendre le mot intérieur au sens étroit ou 

 au sens large dans la définition de la mesure d'un ensemble. Comme d'autre 

 part tous les points de (w) qui correspondent à un carré-élément normal 

 (les points-frontière compris) se trouvent sur (w) dans neuf sous-segments 

 normaux, dont aucun n'est plus grand que le sous-segment normal corres- 

 pondant à l'intérieur du carré normal, il est évident que la somme de tous 

 ces segments tend vers zéro. 



Considérons maintenant a priori un ensemble E sur (u) de mesure nulle. 

 Si l'ensemble E, qui lui correspond dans (xy) est tel que les deux ensembles 

 que l'on obtient par projection sur les deux axes ne sont pas tous deux de 

 mesure linéaii-e nulle, on dira que E est d'ordre un. Dans le cas contraire, 

 il pourra se faire que l'ensemble Eo, que l'on obtient d'une manière analogue 

 dans un cube (xyz) de l'espace à trois dimensions, possède cette propriété. 

 On dira alors que E est d'ordre deux, et ainsi de suite. 



Il est clair que, d'après cette définition, les ensembles dénombrables sont 

 tous d'ordre infini. 



Le nombre entier qui désigne l'ordre d'un ensemble donné varie avec N. 

 Il est donc indispensable de cboisir avant tout ce dernier; la notion d'ordre 

 ainsi définie n'a pas une signification absolue et sert seulement à comparer 

 entre eux les différents ensembles de mesure nulle. 



Toutefois, les ensembles d'ordre infini restent du même ordre, quel que 

 soit N. Ils semblent être tous dénombrables. 



Il est à peine nécessaire de faire remarquer que toutes ces considérations 

 s'appliquent sans modifications essentielles aux ensembles de points d'un 

 espace à un nombre quelconque de dimensions, et dont la mesure est nulle. 



