SÉANCE DU 3 NOVEMBRE 1919. 



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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l' iimcàé des développements idtrasphériqaes. 

 Note de M. Erwaxd Kogbetliantz, présentée par M. Appell. 



Envisageons la série ultrasphérique donnée par ses coefficients ^/„ 

 et la série auxiliaire 



^- r /"' r' /i — "-\''' dadt 



l-(.r)izzF(cos9) = «„ / / -) , 



anH'{^) 



{X =: COSS). 



On démontre d'abord les lemmcs suivants : 



Soit la fonction tp(^0 ), continue dans (a, ^f), — 7: >- [i >> a > o ; si Von a 

 dans cet intervalle (a, [3") 



lim Zl')[a>(0)] = lim 



+ 2>. COLÔ 



û*{0 + 0) — ti>(;0 — ô; 

 20 



fl/or^ fl>(0) c^/ ûfe /rt forme 



' ■ ,-.0 



<I)(0j = a/ (sin9)--''r/9+ B (af;9;£i3) 



o/i' A e^ B sont constantes. 



Si la série (1) converge en un point j:-„ = cosO^ ( -< O,, <^ t: ), ce qui entraîne 

 ((,, = o(n^~^), e( a pour so/nme f(cos(),^), alors 



Ii.n74^'[Ffcos9o)]=/(cos5o). 

 On établit aussi que la convergence de (i) pour = 0^ entraîne 



iiin - A.ï F( cos^Jo) = o- 



La démonstration est basée sur la formule approximative 



I\;- (CÛS6) 



2r(/j -\-i) 



\ cos 



(« + /.)^^ — 



2 



/. ( À — I "1 



{/i + 1 — i)0 — 



(,j„(6) 



s'inOy-' 



{/i + /.)"(^' si'i^)^ 



OÙ I oj„(0)| <</; = A-(A) pour o<02:t: el /i = o, i, 2, . . ., ce. 



C. R., 1910, 2" 5c/>acs(/r. (T. 169, N" 18) 



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