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On déduit maintenant que l'hypothèse de convergence de la série (i) avec 

 la somme f(ûe) partout dans l'intervalle (— i, + i), à l'exception possible 

 des points frontières a^ = ±i et d'un ensemble réductible de points inté- 

 rieurs, a pour conséquence l'expression suivante de la fonction F(a7) définie 



par (2) : 



,. ^ f' r' f{u)ducU , r' ilt 

 (3) i'{^v)= / ^Vt ~,'^^ ~~^ ' 



< «^0 (I — u'-y- '(i — r-)-' «0 II — /- )- 



où A et B sont constantes dans (— i, + i ). 



La série (\U — cc'^)^F(x) converge uniformément dans ( — i, -+- i) et à 

 l'aide de (3) on en déduit, vu que a„ = o(n^~^ }, les théorèmes : 



I. Si la série (i) converge partout dans (-- i , + i) rtrec la somme zéro, à 

 f exception possible des points frontières X =^±: i et d un ensemble réductible 

 de points intérieurs, alors tous ses coefficients sont identiquement nuls. 



II. Si la série (i) converge partout dans ( — i, +1) <^^6C la somme f{x), à 

 V exception possible des points frontières x = ± i et dhin ensemble réductible 

 de points intérieurs, elle est la série ultra sphérique de Fourier de sa somme J{x), 



pourvu que le produit (i — x'^) ' \f{x) \ soit intégrable dans ( — i , -+- i) e/ 

 f{x) soit bornée à l'intéi^ieur de l'intejvalle ( — i, + i). 



Ces deux théorèmes établissent l'unicité des développements ultrasphé- 



riques convergents. Pour les séries de Legendre f X = - j le théorème I 



était démontré par U. Dini (') et le théorème II récemment par M. Plan- 

 cherel (-). Mais M. Plancherel n'a démontré la validité du théorème II 



pour X = - que sous la restriction inutile que la fonction f{x) doit être 



bornée dans tout intervalle ( — i, H- i). Nous voyons que les cas dans les- 

 quels /"(a?) devient infinie pour |:r| = i sont aussi admissibles, pourvu 

 que/(.r) reste absolument intégrable dans (— i, +1). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le calcul aux différences finies . 

 Note de M. J\.-E. IVorluxd, présentée par M. Appell. 



Le problème le plus important dans le calcul aux différences finies 

 consiste à trouver une définition convenable de l'opération inverse à 



(') Aniiali cli Malh,, 2^ série, t. 6, 1 878-18-5, p. 216-225. 

 (^) Comptes rendus, t. 155, 1912, p. 897-900. 



