SÉANCE DU 3 NOVEMBRE 1919. 77 I 



l'opération 1^,^ 



c'est-à-dire de résoudre l'équalioii 



(.) A,.3F(.r)=:cp(^), 



z>(a)) étant une fonction donnée. M. Guichard (') et M. Appell (/) ont 

 publié des travaux très intéressants sur cette équation. Je voudrais appeler 

 l'attention sur une méthode toute différente pour résoudre l'équation (i), 

 méthode qui présente certains avantages. D'abord, le problème posé n'est 

 pas déterminé. Quelle que soit la fonction donnée (p(>-), on arrive très aisé- 

 ment à trouver une solution de l'équation (i), et l'on obtient la solution 

 générale en y ajoutant une fonction périodique, avec la période w. Mais ce 

 n'est pas toute solution qui convient. Il va une certaine famille de solutions 

 distinguées qui diffèrent l'une de l'autre par une constante. Pour que la 

 définition, qu'on adopte, de l'opération inverse A~' puisse être utile, il faut 

 qu'elle conduise à une de ces solutions distinguées que j'appelle, pour 

 abréger, les solutions principales. Ces fonctions posséderont des propriétés 

 remarquables qui n'appartiennent plus aux autres solutions. 



Si 'f (^') est un polynôme du degré v, les solutions principales sont de la 

 forme 



V + 1 



a étant une constante, les B^ étant les nombres de BernouUi. Toute autre 

 solution est une transcendante. 

 Considérons la série 



— w ^ 9 {.r + Sfj) ). 



Si elle converge, elle représente une solution qui convient. Cela est vrai 

 encore si l'on y ajoute une constante, de sorte que l'expression 



(^) 



go 



/ '■s>{:) dz — Qj / ^ (p ( .r + y (0 ) 



(') Annales scienlijicjaes de l'Ecole Aorniale supérieure^ 3'' série, t. 4-, 1887, 

 p. 36i-38o. 



(-) Journal de Mathématiques pures et appliquées., 4" série, t. 7, 1891, 

 p. 15--219. 



