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est une solution, si l'intégrale converge, a étant une constante. Malheureu- 

 sement, dans les cas qui doivent nous intéresser tout d'abord, la série n'est 

 ni convergente, ni sommable par aucune des méthodes de sommation qu'on 

 a appliquées pour attribuer une valeur à une série divergente. Mais le fait 

 remarquable se présente qu'en appliquant une même méthode de somma- 

 tion à la série et à l'intégrale qui entrent dans l'expression (2), on est 

 amené à une expression arithmétique qui, dans des cas étendus, tend vers 

 une limite. La solution principale sera, par définition, égale à cette limite. 

 On peut toujours effectuer la sommation d'une infinité de manières; mais 

 en s'imposant certaines restrictions, on démontre que le résultat final ne 

 dépend pas de la manière particulière dont on effectue la sommation, de 

 sorte que la définition est unique. Si l'on veut tirer tout le parti possible de 

 cette idée, on est amené à de longues explications qui ne peuvent pas 

 trouver place ici. Je veux parler seulement d'un cas particulier, qui est 

 suffisamment général, pour faire comprendre le mécanisme de la méthode, 

 8t qui d'ailleurs joue un rôle capital dans les applications qu'on peut faire 

 de ces considérations. 



Soit, pour abréger, to un nombre positif. Supposons que la fonction 9(5) 

 admette une dérivée continue d'un certain ordre, soit d'ordre m ('), telle 



que la série V 9 '" (s + s m) converge uniformément dans l'intervalle 



CC'lz'S.X -+- Cl) . 



Je remplace, dans l'expression (2), 9(.s) par o(::)e^'"'' et je fais ensuite 

 tendre le nombre positif y] vers zéro. Je définis donc la solution principale 

 comme il suit : 



(3) 



F(.r|ù)) = lim / / (a{z)e~'^' cl: — w"V o (.r -h ^w) e 



r, (.r-t-.<(o) 



Cette expression tend uniformément vers une limite. Elle définit une 

 fonction continue de a? et de w qui satisfait à l'équation (i), car on a 



Y{x + co I 03) — F(jr ]«)=:&) lim 9(07) e-'l-'^^r o) o{x). 



Soit n un entier positif. De l'expression (3) il résulte immédiatement 

 que notre solution satisfait à la relation 



(4) ïK--+T'')="-n'-^'^- 



5=0 



(') Il va sans dire que l'ordre m peut, en particulier, être égal à zéro. 



