SÉA^•CE DU lO NOVEMBRE I919. 8^1 



sortant d'un mcmc point P de l'espace V,, défini par (i). L'élément linéaire 

 sortant de P' (.r, -j- r/.jc,) dans la direction -^ do, l'opération do étant 



définie par les équations 



II 



1 ■ • ( y'M 



on désigne par ; . 



est, par définition, /.>rt/Y<//eYe à l'élément f^ sortant de P 



les symboles de ChristolTel, relatifs à ( 1), de deuxième espèce 



Si l'on transporte l'élément o tout le long- d'une courbe c, sortant de P, 

 on aura une bande élémentaire de surface. 11 est tout à fait naturel de 

 répéter la même construction pour tous les éléments d'une courbe y, sortant 

 de P, en transportant son élément sortant d'un de ses points Q le long de la 

 courbe analogue à c qui passe par Q et qui forme le bord d'une bande élé- 

 mentaire analogue à celle précédemment considérée. On arrive alors à une 

 surface douée de la propriété suivante : 



H existe sur la surface un réseau de courbes telles que les éléments des 

 courbes d'un système \quelconque^ à cause de l'invertibilité des symboles d 

 et ù en (2)) sortant des points d'une courbe de L'autre système sont entre eux 

 parallèles au sens de M. Levi-Civita {la courbe de transport étant la dernière 

 considérée). 



On a ici la généralisation tout à lait naturelle des surfaces de translation 

 aux espaces courbes à un nombre quelconque de dimensions; je conser- 

 verai la même dénomination. 



Il est évident que si l'on établit sur la surface un système de coordonnées 

 curvilignes T|, T^ dont les lignes^, (T^^const.) et 'To (t, = const. ) sont 

 celles du réseau, on a les èqualions ci dérivées partielles caractéristiques des 

 surfaces de translation dans les espaces courbes : 



2. D'après la définition même de l'opération r/o, on a r/o5' = or/.v = o, 

 c'est-à-dire que les longueurs des arcs des lignes t, (ou t.) compris entre 

 deux lignes z. (ou t,) sont égales; on le voit aussi géométriquement, parce 

 que, pour un des deux systèmes de lignes, la propriété résulte de la défi- 

 nition et pour l'autre de l'invertibilité des symboles cl et 0. 



