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dont le second membre est aussi petit qu'on veut, ce qui établit la propo- 

 sition. 



Par contre, lorsque a est négatif, le fait pour une solution de (i) d'être 

 analytique et bornée en tout point d'un domaine D, et nulle sur sa frontière, 

 n'entraîne pas qu'elle s'annule en tout point de D. Prenons trois axes rec- 

 tangulaires Ox, Oy, O- et prenons pour domaine I) l'intérieur du trièdre 

 Ox'j'z(œ:lo, y^o, ^^o). Les fonctions Y = sina^sinl^^siny^ s'annulent 

 sur les faces du trièdre et sont bornées, mais, en général, non nulles à 

 l'intérieur. Or, pour A = — (a- 4- p- -H y^), elles sont solutions de (i). Nous 

 n'aborderons pas ici la recherche des solutions de (i) s'annulant sur la 

 frontière d'un domaine D quelconque, en les supposant analytiques et 

 bornées dans ce domaine : elle exige à elle seule d'assez longs développe- 

 ments. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur k calcul auT différences finies. 

 Note de M. 1\.-E. Norlund, présentée par M. Appell. 



1. Dans ma Communication du 22 septembre dernier, j'ai étudié 

 l'équation 



(1) AF(.r) = (p(^0. 



(1) 



o(.r ) étant une fonction donnée qui satisfait à une certaine condition. J'ai 

 défini la solution principale par la limite 



(2) F(j" I ^_,)) =: lim ' / 9(:;) e-'l^^/r — 03 V o(.r + 5oj)e-'i(-^+*""M. 



- it 



Je veux maintenant indiquer diverses autres expressions analytiques qui 

 représentent la même solution. Soit /s un nombre tel que o'S/i'Scû. En trans- 

 formant l'expression (2) à Faidc de la formule sommatoire d'Euler, on 

 trouve, après un double passage à la limite, 



( 3 ) F ( .r H- // I oj ) 



B.,(5 I co) est le polynôme de BernouUi et Bv(-) est une fonction périodique 

 avec la période co qui, dans Tintervalle oSz'Sto, est égale au polynôme de 



