SÉANCE DU 17 NOVEMBRE I9I9. 897 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les cycJes limites. Note de M. Henri Dulac, 



présentée par M. Hadamard. 



l. L'étude des courbes définies par une équation diiïérentielle 



dy ^ l^(^-,j) 

 ^') da: Q(a-,y)' 



OÙ P et Q sont, pour fixer les idées, des polynômes en r et r, permet, 

 d'après les travaux de Poincaré complétés par ceux de M. Bendixson, de 

 donner les énoncés suivants, dans lesquels nous désignerons les courbes 

 considérées sous le nom de caractéristiques et où un cycle sera une caracté- 

 ristique fermée. 



A. Les coordonnées d'un point d\in arc de courbe (S) étant exprimées 

 en fonction d'un paramètre, soient M et M^ deux points voisins situés 

 sur (S), de paramètres t et/g, d'où partent deux caractéristiques voisines 

 (G) et (Cn) qui, suivies dans le même sens, vont couper de nouveau l'arc (S) 

 en M' et M', de paramètres t' et <,. Si l'arc M» M', de" Go ne contient aucun 

 point singulier de l'équation (i) et si (C„) n'est pas tangente en M^ à (S), 

 on a t' = g(t), or{t) étant une fonction bolomorphe de t dans le voisinage 

 de t„. La loi de conséquence qui lie M' à M est bolomorphe. 



On sait qu'il n'y a pas lieu de parler de la loi de conséquence, si 

 l'arc Mo M, de (G,,) passe à l'intérieur d'une région nodale relative à un 

 point singulier. 



B. Si un cycle (F) ne passe ni par un col^ m ^d^T un point singulier multiple 

 (point d'intersection multiple des courbes P = o, Q = o), il est possible de 

 déterminer de part et d'autre de (T) deux régions annulaires adjacentes 

 à (F), l'une (I) intérieure à (F), l'autre (E) extérieure, telles que, pour 

 chacune d'elles, on soit dans l'un des cas suivants : 



I" Aucune des caractéristiques passant dans la région nest un cycle: 

 2*' Toutes les caractéristiques passant dans la région sont des cycles. 

 Si le cas i" se présente, le cycle (T) est un cycle limite. 

 G. Si aucun cycle limite ne passe par un col ou un point singulier mul- 

 tiple, les cycles limites sont en nombre fini. 



2. L'étude des caiactéristiques qui passent dans le voisinage d'un col ou 

 d'un point singulier multiple m'a permis de généraliser les résultats ci-dessus 

 de la manière suivante : 



