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A'. Si l'arc M„M^ de (C^) passe par un seul col, la loi de conséquence 

 entre M et M' se met, en prenant ^o = ", sous la forme 



X est un nombre positif égal à la valeur absolue du rapport des racines de 

 l'équation caractéristique relative au col; la fonction /"(/), définie pour/ 

 voisin de o, n'est pas nulle pour / = o, et se présente sousla forme d'une 

 série dont les termes sont des séries en t et t^', si A n'est pas rationnel. Bien 

 que /ne puisse être, en général, considérée comme une série entière en t 

 et t^\ elle jouit de la propriété suivante, qui suffit pour les démonstrations 

 que je veux établir : quel que soit le nombre positif s, on a 



(2) f{t) = Vsil)-+-l-'c,(t), 



F, étant un polynôme en t et /' et o(t) restant fini pour / — o. 



Si k est rationnel, ou si l'arc M^, M^ passe par plusieurs cols ou par des 

 points singuliers multiples, la loi de conséquence doit être modifiée, mais 

 elle jouit toujours d'une propriété analogue à celle exprimée par l'éga- 

 lité (2), propriété qui suffit pour l'emploi de celte loi dans les démons- 

 trations. 



B'. La propriété (B) subsiste pour un cycle passant par un ou plusieurs 

 cols ou points singuliers multiples. Si plusieurs cycles ont un point commun 

 (un col par exemple), une des régions annulaires de l'énoncé (B) est com- 

 mune à tous ces cycles 



Pour les cycles considérés dans l'énoncé (B), celui des cas r' ou 2° de 

 cet énoncé qui se produit pour la région (E) se produit aussi pour la 

 région (I), tandis que parmi les cycles passant par des cols ou des points 

 singuliers, il peut y avoir des cycles tels que l'un des cas 1° ou 2° se présente 

 pour la région (I) et l'autre cas pour la région (E). Je désignerai ces cycles 

 sous le nom de cycles séparateurs. 



C. Les cycles limites sont en nombre fini. 



La métbode que j'ai suivie pour établir la propriété (B') permet de 

 trouver des conditions nécessaires pour que toutes les caractéristiques situées 

 dans une région soient des cycles. Lne seule de ces conditions, en général, 

 s'obtient algébriquement, les autres se présentent sous forme transcendante. 

 Par exemple, si un cycle (r^) ne passe que par un seul col, on trouve 

 comme condition algébrique que le nombre \ de l'énoncé (A') doit être 

 égal à I, pour que dans l'une au moins des régions adjacentes à T^ il n'y ait 

 que des cycles. 



