SÉANCE DU 17 NOVEMBRE I919. QOI 



drenl une surface réglée rationnelle, du quatrième ordre; si, en particulier, 

 la droite fixe s'appuie sur les droites doubles, ses polaires décrivent une 

 semi-quadrique ayant les droites doubles pour directrices. 



Les plans qui touchent les quadriques 3^^ aux points de rencontre avec 

 une droite A passent par deux droites fixes, directrices de la semi-qua- 

 drique précédente. 



.3. La surface 11' possède encore quatre familles de quadriques inscrites 

 que je désignerai par (T,), i = i, 2, 3, 4. Deux de ces familles ont pour 

 équations, par rapport au tétraèdre ABCD : 



T,|j. ^ y.-j:z + ;j.l^ ~t-„>'^ ^^ o, To, '^ -j-xt -'- vl2 — vc =: o. 



Les quadriques (T, ) contiennent les droites doubles et touchent la sur- 

 face 11^ suivant deux génératrices. Elles ont les mêmes caractéristiques que 

 les familles (-,). 



Parmi les quadriques T^ il y a quatre couples de plans cuspidaux qui se 

 coupent suivant quatre droites bicuspidales (c'est-à-dire des droites qui 

 joignent deux points cuspidaux ). 



Ces quatre droites appartiennent à une même semi-quadrique V^ qui 

 jouit aussi de la propriété de transformer en elles-mêmes, par polaires réci- 

 proques, les quadriques (T^) et la surface R\ 



Les plans polaires des points situés sur les quatre droites bicuspidales 

 relatives à la famille (T,) et les pôles des plans qui passent par ces droites, 

 pris par rapport aux quadriques T,, passent par des droites fixes appar- 

 tenant à la semi-quadrique V,', complémentaire de Y,. 



Une quadrique i, coupe une quadrique T, ou To suivant deux coniques 

 dont les plans passent par deux droites bicuspidales. 



4. Une quadrique Q, qui contient les droites doubles de la surface 11', a 

 encore en commun avec la surface quatre génératrices g^ g\ h, h! . Si l'on 

 maintient fixes deux de ces génératrices g^ g', les deux autres A, h' se cor- 

 respondent dans une involulion H sur la surface 11*; on peut engendrer la 

 même involution au moyen d'une infinité de couples (g, g') qui forment 

 aussi une involution ( i de même nature que H, et associée à celle-là. 



Il existe, sur la surface 11*, te' involutions G et H. 



Deux couples de génératrices appartenant à des involutions associées 

 peuvent être réunies par une quadrique Q, qui passe aussi par les droites 

 doubles. 



Les congruences linéaires de droites, qui ont pour directrices les couples 



C. H., 1919, :^' Semestre. (T. 169, N° 20.) I18 



