9^2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



conduit, à la formule 



(4) __+,Xeot^7-^ 



■2 2 



OÙ A et B sont constantes. 



La formule (4) subsiste aussi dans l'hypothèse de sommabilité (C, i) de 

 la série ( i), si Ton suppose de plus la convergence uniforme de la série 

 (sinO)\F(cosO)dans(o, ::). \ln s'appuyant sur (4) et en désignant par 

 bn le coefficient ultrasphcrique de Fourier de f{x), on démontre que 

 Ton a 



(5) a„ = /.„+ {n H- }.) \ a, '"^^7'^" - .\ ' ~ [~ '^" 



( 2/. K) 



ki 



'-' /((') + {-i)" f{-u) . . 

 j du I > 



où K).r ( A) --= F (^-^ F [^ -+- A^ • Vu que lim ^ = o, si (i - x-)' \ \f(x) \ 

 est intég-rable dans ( — i , + i ), on a les théorèmes : 



L Si la série (i) esl sonimablc ( C, o " ' ) avec la somme zéro partout dans 



(—1, + ' ), à l^ exception possible des points frontières x= ± \. tous ses coef- 

 ficients sont identiquement nuls. 



II. 5/ la série (i) esl sommable ( G,o" j avec la somme f{x) partout 



dans (— I, -h i), à r exception possible des points frontières .r — =t i , /e pro- 



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châtiai — X-) ' f(x) étant absolument intègrable dans ( — i, -{- i) et la 

 fonction, f(.i') étant bornée à r intérieur de cet intervalle ( — i , 4- i), elle est 

 la série ullraspJiérique de Fourier de sa somme. 



SiX^ I et si \'d série (i) est sommable (C, i), les deux théorèmes subsistent, 



pourvu que la série (sin 0)' . F(cos 0) converge uniformément dans (o, -). 



Supposons que dans un ensemble réductible de points intérieurs, la 



série (i) n'est pas sommable (G, 0^ ) ou, tout en l'étant, n'a pas pour 



somme zéro (l) ou/(^:) (II); si l'on a âr„ = o («'-'), les théorèmes I et II 

 subsistent, même pour o — : . 



