SÉANCE DU 2/f NOVEMBRE I919. qS ") 



Si f <i I, (5j fournit aussi la solution do la queslion suivante : « Déter- 

 miner les coeflicients r/„ de (i), sachant que pour > A, ( i ) est soniniable 

 (C, <^ [ ) et a pour somme zéro partout à Tintérieur de l'intervalle 

 (- I, -h I ) .» 



Vu que les solutions a„ = [C, H- (— i)".C^] ,0 («) ne sont que la consé- 

 quence triviale de la solution f/„ = o(n)^ on a le résultat : la série bien 

 connue Ii(n -t- X).P,/ ' (r) est la seule ([ui répond à la queslion, c'est-à-dire 

 <7,^ =r: /î -h A. Par exemple, on n'a qu'une seule série de Legendrc, (pii repré- 

 sente zéro, étant sommable ( (>, 0^ -)■ 



GÉOMÉTRIE . — Sur la classification des ensembles fermés situés sur une surface . 

 Note de M. L.-E.-J. Iîrouvver, présentée par M. Paul Appell. 



l. Soit co une surface arbitraire d'ordre de connexion fini. Nous appel- 

 lerons cycle de co chacjue courbe simple fermée située sur co et ne pouvant 

 être réduite à un point par déformation continue sur co et, d'autre part, 

 région élémentaire de co chaque région située sur co et ne contenant pas de 

 cycle de co. 



Soit a un continu fermé situé sur co et tel que toutes ses régions complé- 

 mentaires soient non élémentaires. Détonninons une suite a', a", ... de 

 régions polygonales (c'est-à-dire dont les b""ds sont des polygones) con- 

 vergeant vers aet telle c[ue, pourchacjue v, l'ensemblecomplémenlaire de a' 

 se compose de régions non élémentaires^ tandis que a'''"" est contenu dans 

 a"', les bords de a" et de a'' '"" ne se rcnconlrant pas. On démontre sous ces 

 conditions qu'il existe un nombre enlicr })Osilif^ tel tpie, pourchaque entier 

 positif UL, y>'^'" est homéomorphe à a'^', a"" ' '' ' " s'oblenanten supprimant le 

 long de chaque bord de a' "''' une région annulaire. Alors a et a"' sont du 

 même ordre de hase réduite de cy close ( ' ). 



Nous dirons (pie le eonliim a est unevtrait cycloinaiujue de la région 

 polygonale a'^ . 



1. Soit a un continu fermé quelconque aïiuv sur lo . Considérons l'ensemble 

 y.^ obtenu en joignant à a toutes les régions élémentaires appartenant à son 

 ensemble complémentaire. Soit y.f une région polygonale, dont y., est un 



(') \'oii-, pour l'cvplicalioa de celle expression, ma Nohj >'///■ l' invariance de la 

 courl>e fermée {Comptes rendus, t. loV, 191'^, p. SG'-t). 



C. n., igio, :r Semcslrc. {'Y. HiO, N» 21.) 123 



