SÉANCE DU 1'"' DÉCEMBRE IC)1[). I02I 



ainsi, si la frontière o de D admet en chaque point à distance finie un plan 

 tangent variant continûment. 



Remarquons d'abord que Ton peut définir pour D une fonclion de 

 ( îreen G( A, i\I ), en considérant ce domaine comme la limite d'une suite de 

 domaines finis, comprenant chacun les points intérieurs aux précédents. 

 Les fon(;tions de Green de ces domaines forment alors une suite croissante 

 dont les termes sont inférieurs à -r-r:- On démontre que la fonction limite 



de cette suite possède les propriétés caractéristiques qui permettent de la 

 considérer comme la fonction de Cîreen du domaine J), et ({u'cUe admet 

 en chaque point P de sa frontière une dérivée normale, qui est telle que 

 l'intégrale 



étendue à toute la frontière ait un sens, et soit au plus égale à /\-, ijuel que 

 soit A. Pour trouver la valeur de celle intégrale, observons que si l'on 

 découpe dans la frontière z> une plaque de dimensions finies, et si l'on prend 

 un domaine fini (V/), dont la frontière [ ossède en commun avec celle de D 

 la plaque précédente, on peut écrire, lorsque A et M sont âcux points voi- 

 sins d'une région de z> intérieure à la plaque 



G[\,M) = ^i \. M » -- II( A, M). 



en désignant par 4' la fonction de Green du domaine u/)et par H une fonc- 

 lion holomorphe pour loules les positions de A et M dans un certain 

 volume traversé par la plaque. Supposons alors que le point A tende vers 

 un point B de la frontière '^. Autour de U comme centre, avec un rayon 

 infiniment petit, décrivons une sphère qui découpe dans o une ])laque t. 

 L'intégrale qui donne F( A) peut être partagée en deux portions : 



i^ L'une relative à 9 — a, qui tend vers zéro avec la distance AB; 



2" L'autre relative à cr, qji [)eut être évaluée en remplaçant G par^-f- H, 



et en remarquant que la contribution du terme -j~ ^^^ infiniment petite : 



celle du terme '-p- tend vers 4"^. 

 an 



Ainsi F(A ) est une fonction harmonique du point A dans le domaine D, 

 prenant la valeur ^\- sur sa frontière, et satisfaisant à l'intérieur aux inéga- 

 lités 



0<r(A)<.^T:. 



Vax vertu de l'hypothèse d'existence du nombre K, nous pouvons donc 



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