I022 ACADÉMIE DES SCIENCliS. 



affirmer que Ton a 



F(A) — 47:. 



Dès lors, soit •^( B ) une distribution continue et bornée de valeurs sur 9. 

 Formons rintégralc 



Elle diflere de -^(B) d'une quantité qui s'obtient en remplaçant dans l'inté- 

 grale ci-dessus la fonction '^i^) par ']^(P) — ']^(B).Par un raisonnement du 

 même genre que celui qui précède, on établit que cette quantité tend vers 

 zéro lorsque A tend vers B. 



Ainsi, pour tout domaine D répondant à la condition d'existence du 

 nombre K, le problème de Dirichlet relatif à l'équation de Laplace admet 

 une solution et une seule, si du moins nous n'envisageons que les solutions 

 bornées, prenant sur la frontière une succession de valeurs, également 

 bornée. 



Par une généralisation facile, on établit qu'il en est de même, si l'on 

 substitue à l'équation de Laplace la suivante : 



(r-\5 c/^U (?-^U ,,- 



d.r^ ôy^ dz^ 



et alors, l'hypothèse de l'existence du nombre K devient superflue. Le pro- 

 blème de Dirichlet, au sens précédent, a toujours une solution et une seule. 

 Remarquons enfin que l'hypothèse qu'un domaine D se prête à l'exis- 

 tence de fonctions harmoniques autres que zéro, bornées à son intérieur et 

 nulles sur sa frontière, ne s'oppose pas k celle d'une fonction de Green 

 pour ce domaine. Celle-ci s'obtient par la méthode générale qui consiste à 

 considérer D comme la limite d'une suite de domaines finis. On pourra 

 l'appliquer par exemple au domaine extérieur à une des surfaces équipo- 

 tenlielles de la fonction : 



^-j MA -' 



envisagée dans la Note précédente. Le problème de Dirichlet, pour un tel 

 domaine, présente une profonde analogie avec le problème de Dirichlet 

 extérieur ordinaire (c'est-à-dire relatif au domaine situé en dehors d'une 

 ou de plusieurs surfaces fermées, tout entières à distance finie). Entendu au 

 sens qui précède, il est indéterminé; mais il serait en général impossible, si 

 l'on imposait à sa solution de tendre, vers zéro aux points infiniment 



