SÉANCE DU 8 DÉCEMBRE 19» 9- '079 



mêmes expressions) forment une série convergente et tels que l'inter- 

 valle 0(^/2, q) renferme l'intervalle o(n — i,^) à son intérieur et tende 

 vers A„, Soit E(^) l'ensemble des points intérieurs à l'un au moins des 

 segments o(n, q), l'ensemble E des points intérieurs à tous les E(7) 

 constitue un ensemble régulier de mesure nulle (' ). 



On peut montrer d'une façon très simple que lorsque la suite des 

 points A„ est partout dense sur le segment o — i, tout point de ce 

 segment est point de condensation de l'ensemble E, c'est-à-dire que tout 

 segment ab pris sur o — i renferme une infinité non dénombrable de 

 points de E. 



N étant un entier supérieur à i, partageons le segment ab en 2N — i 

 intervalles égaux, soit I(/J|) l'intervalle de rang 2/j, -h i lorsqu'on va 

 de a à b. Dans cbacun des intervalles l(p^) prenons le point A„ de plus 

 petit indice, il est intérieur à un segment o(n, i), soit o^p^) la partie de 

 cet intervalle qui est intérieure à 1(7^,). Les N intervalles o(/j,) sont exté- 

 rieurs les uns aux autres et appartiennent à E(i). Recommençons la même 

 opération à partir de chaque intervalle o(p^), mais en utilisant les fonc- 

 tions o(n, 2. ) au lieu de o( n, i) et ainsi de suite. Au bout de la q'"""^ opéra- 

 tion nous aurons N'/ intervalles sans parties communes appartenant à E(^) : 

 désignons par o(p^,p._,,...,p^) celui de ces intervalles qui se déduit 

 de o(/)j, . . ., yo^_, ) en utilisant l'intervalle de rang 'ipq^ i; ^(Pi^p-^ --"iPq ) 

 est entièrement intérieur à o(p,,p.^, ...,/>^_,) et sa longueur est moindre 



que ; — r^ — • Soit c un nombre compris entre o et i et écrit dans le 



^ ( 2 ^ — 1 )'/ r 



système de base N, soit i^ son q'*'"^'' chiffre après la virgule (/^ pouvant être 

 constamment nul à [)artir d'une certaine valeur de q), la suite des inter- 

 valles correspondants o(ï', , /o, ..., i^) est illimitée et tous ces intervalles 

 ont en commun un point C qui leur est intérieur, donc qui appartient à E. 

 A un nombre c dillérent de c correspond un point C distinct de C, car les 

 développements de c et c' étant différents à partir d'un certain rang, les 

 intervalles correspondants se sépareront à partir de ce rang q. La propriété 

 énoncée est donc démontrée. 



On peut modifier cette démonstration de façon à mettre en évidence la 

 relation entre la décroissance des intervalles o(n, q) et la plus ou moins 

 grande densité des points de l'ensemble E. On est conduit à considérer les 

 ensembles pour lesquels la suite des nombres 'J^(n, q) est non croissante 



(•) Voir BouEL, Les ensembles de mesure nulle {Bulletin de la Société mathéma- 

 tiquc. t. VI, 1913, p. 1-19) el Leçons sur les fondions monogènes, Chap. W. 



