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pour chaque valeur de </, on dira que ces ensembles sont définis /«o/v/ift/eA;?*-^/?/. 

 La répartition des points fondamentaux joue aussi un rôle important, elle 

 est caractérisée par les deux fonctions suivantes : 



1° Le plus petit écart d(n) des points A,„ d'indice inférieur ou égal à /?; 



2*^ Le plus grand n{x) des indices des points de moindre indice contenus 

 dans les segments de longueur x placés arbitrairement sur o — i . 



On a toujours nd(n)1îi et xn(,x)>i. Il existe d'ailleurs des distribu- 

 tions pour lesquelles nd^n) > 7n et xn(x) <^ jn . la plus simple correspond 

 au cas où les poinls A„ sont les points à développement borné dans le 

 système de base IN. On dira que la répartition est normale (') lorsque les 

 deux inégalités précédentes sont vérifiées. 



Un ensemble régulier sera dit normal lorsque la répartition des points 

 fondamentaux sera normale et que Tcnsemble sera normalement défini. 



Pour les ensembles normaux, on obtient un résultat particulièrement 

 simple. Remplaçons dans ç(/?, q) le nombre q par une fonction croissante 

 de /^, à croissance aussi lente que nous voudrons, remplaçons n par hn^ 

 h étant un nombre fini dépendant des nombres m et m! introduits ci-dessus, 



et considérons la fonction j\n) = — 9 [/</-', q(7i)\, à' étant un entier supé- 

 rieur à 7. Si l'on considère un second ensemble E' ayant les mêmes poinls 

 fondamentaux que l'ensemble E et défini par des intervalles ']^{n, q) tels 

 que chacun d'eux est intérieur à l'intervalle c>(/i, q) correspondant aux 

 mêmes /i et q et tels de plus que, quel que soit q, '^(n, q)'2 f(n)\ l'en- 

 semble E' est évidemment intérieur à E et l'ensemble E — E' des points de E 

 n'appartenant pas à K' admet tout point du segment o — i pour point de 

 condensation. 



Par exemple, si E est défini par 0(71, q ) = — , on pourra prendre pour 



définir E' 



Il résulte de là qu'il est légiti.me d'utiliser la fonction o( /z, q ) pour classer 

 les ensembles de l'espèce considérée, à la condition de supposer que q est 



remplacé par une fonction croissante de //, l'ordre d'infinitude de 



(') Comparer la délinilion de iM. l>orel. article cité p. ii-i3. Les deux conditions 



iinposées à d{/i) et n(.v) sont coniplèternenl indépendantes. 



