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M. le Secrétaire perpétuel sijï^nale, parmi les pièces imprimées de la 

 correspondance, une collection de Publications de la Carte spéciale géo- 

 logique d' Alsace-Lorraine^ adressée par le nouveau directeur du service 

 M. Emm. de Margerie. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la méthode d'intégration de liitz. 

 Note de M. Michel Plaxcherel. 



Soit L(w) -h'kgu :=/ une équation aux dérivées partielles, linéaire, du 

 type elliptique, où À désigne un paramètre et où ^est une fonction de signe 

 non nécessairement constant. Supposons que le problème de l'intégration 

 de cette équation dans un domaine D, avec certaines conditions à la fron- 

 tière C, découle d'un problème du calcul des variations. Le but de cette 

 Note est d établir que la méthode dHntégralion de Ritz (' ) est alors appli- 

 cable au calcul de u et quelle permet ^ en particulier, de calculer les valeurs 

 fondamentales \p et les solutions fondamentales Up de l'équation homogène 

 L(;/) -i-Ao-« = o. Pour atteindre ce but, nous serons obligé, il est vrai, 

 d'admettre l'existence des A^ et des u^ et de connaître leurs propriétés prin- 

 cipales, toutes choses qui peuvent s'établir à l'aide de la théorie des équa- 

 tions intégrales. Sans méconnaître l'intérêt qu'il y aurait à démontrer, par 

 la méthode de Ritz elle-même, l'existence elles propriétés des \p et des u^, 

 il faut cependant considérer que l'importance de cette méthode réside avant 

 tout dans le fait qu'elle est une méthode de calcul. 



La démonstration est générale; pour plus de simplicité nous l'esquisse- 

 rons sur l'équation du second ordre -r — ; + -r^, -^ \u = /, et nous chcrche- 

 ' ax'- ôy- 



rons une solution de cette équation qui soit continue dans D ainsi que ses 

 dérivées premières et qui s'annule sur C. Si Q désigne le champ des fonc- 

 tions qui sont continues dans D ainsi que leurs dérivées premières, qui s'an- 

 nulent sur G et qui donnent une valeur finie à l'intégrale ^{ii) ci-dessous, 

 on sait que la solution cherchée z< appartient à il et annule dans ce champ 



(') Voir RiïZ, ./. reine angen\ MaLli., l. 135, 1908, p. i-(3i ; Annales de Physique^ 

 4'' série, t. 28, 1909, p. -37-786; Œuvres (Gaulhier-Villars, 1911). p. 192-316. Noir 

 aussi Rayleigii, Phil. Mag.^ 5" série, t. Wi , 1899, p. 066-D72, et 6'- série, t. 22, 191 1, 

 p. 225-229. 



