II 54 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



w^"' = x'[''^ tl>, H- ... H- x'^\] <I>„, . . . convergent en moyenne ( ' ) vers w, , u.,, 

 lorsque n tend vers l'infîni. 



.'«) 



3. Si A n'est pas une valeur fondamentale, la solution a:-)"', a?;,"', ...,^-,' 

 du système ^ ^'pq^q ~ Ax^^^f^, (p = ~ 1,-2, ..., n) détermine une fonction 



m"' = a;',"'$, +... + a.-„" $,j qui, lorsque n tend vers Tinfini, converge en 

 moyenne vers la solution u de ^u H- \u =/*. 



Le procédé de démonstration de Ritz ne permet de démontrer que la 

 troisième proposition, et seulement dans le cas k'I o. Il suppose essentielle- 



\. .. n II 



ment que '^ kj,qXj,Xq — ^S"*^/' ^^^ ^^^ forme quadratique définie, ce qui est 



vrai lorsque À < o, mais ce qui n'est plus nécessairement vrai lorsque \^ o. 

 Les deux premières propositions n'ont pas encore été démontrées, mais 

 Ritz et Rayleigh les ont rendues plausibles par l'accord qu'ils ont constaté 

 dans quelques problèmes particuliers entre les valeurs expérimentales 

 des A^, et des ii^, et leurs valeurs calculées à l'aide de ces propositions. 



Notre démonstration est basée sur la tbéorie des formes quadratiques à 

 une infinité de variables (- ). Elle utilise les résultats de Ritz pour établir, 



par une extension convenable de la théorie de Hilbert, que la forme qua- 



1...00 



dratique non bornée 7 k ^x^^x^j possède cependant une résolvante au sens du 

 principe des réduites. Plus précisément, la forme quadratique K," (a;), 



a 1 ... « 



réciproque de la forme > x'^, — '-'-^ ^/^^^V'^? ^ ^*^*^ limite unique Kjj.(.z:), 



lorsque n tend vers l'infini. \s.^,_(^x) est, sauf pour certaines valeurs positives 

 de tx, une forme quadratique bornée à une infinité de variables; elle se trans- 

 forme en une forme orthogonalement équivalente lorsqu'on change le sys- 

 tème des fonctions $^,. Or, si l'on admet Texistence et les propriétés prin- 

 cipales des valeurs fondamentales X^, et des fonctions fondamentales u^, 

 de \u H- \u = o, on se rend compte qu'il est permis de prendre, en particu- 



(') Lorsque le degré de l'équation aux dérivées partielles est supérieur à 2, la con- 

 vergence e/i moyenne des propositions 2 et 3 est à remplacer par la convergence uni- 

 forme. 



(-) \oir par exemple F. Rie.sz, Les systèmes d'équations linéaires à une infinité 

 d'inconnues (Gauthier-Villars, igiS). 



