SÉANCE DU l5 DÉCEMBRE I919. Il55 



lier,tl>^, = u^,el que, dans ce cas, Kjj,(;r) est égal àV — -7^-- Tl resle alors 



encore à démontrer que, pour u. ^ =— , la suite des formes quadratiques 



K'[;'(,r) converge uniformément vers K,j,(ir;), pour pouvoir déduire par 

 (juelques raisonnements simples les trois propositions énoncées plus liant. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Détermination des intégrales premières de 

 P équation différentielle des lignes géodésiques, rationnelles, par rapport à 

 la dérivée première de la fonction inconnue. Note ( ') de M. Jules Drach. 



Dans une iNote récente (-) consacrée à la détermination des cas où 

 l'équation r"=y(.7;, j') possède une intégrale première rationnelle en r', 

 nous avons dit que la méthode employée s'applique aussi à la recherche des 

 cas où l'équation difPérentielle des lignes géodésiques, écrite en coordonnées 

 symétriques 



possède une intégrale première rationnelle en v'. 



Pour la simplification des écritures, il est commode de prendre, au lieu 

 de ('', la nouvelle variable (r — X^'; l'équation (i) peut alors se remplacer 

 par l'équation aux dérivées partielles 



(o.) A(/) — À^-^<r-^ +:î«ï 



âf ôf à'/. <)f 



Il <}\' Ou (U\' 



Si o = 9(", (', n), (3) désigne une solution de ('-2); une autre solution, 

 distincte de la première, sera donnée par la quadrature de la différentielle 

 totale 



/. dv — i\' du 



d'h 





où w est défini par (3) au moyen de ?/, v et de la constante o. Enfin, on sait 

 que l'intégration de (2) et celle de l'équation aux dérivées partielles non 



( ') Séance du 8 déccinl) re 1919. 



(-) Comptes rendus, l. 108, 1919, p- 497- 



