II 56 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



linéaire (qui donne les courbes parallèles) 



^ dz ôz - 

 du ov 



sont des problèmes équivalents. Si l'équation Aclv — adu = o définit des 

 lignes géodésiques, on peut poser 



à± _ ;- âz _ l 



et réciproquement. 



I. Lorsque l'équation ((L>, F) = o possède une intégrale o entière en ^> 



-y^ (qu'on peut supposer homogène), de degré impair ?n-~ in + \^ il est 

 possible, en modifiant u et c, de lui donner la forme 



Le système des équations que doivent vérifier les y, (ou leurs fonctions 

 symétriques) peut être remplacé par le système 



(a) A____^__Ç.— o (i — I, ..., /;/,). 



Ou Ov 



où les Ci sont les m racines de l'équation — = o, et les ç^ sont les expres- 



Oo 

 3 Li sont les m racines ae l équation 



sions 



cp/=ç7^(Ç/-7.)..-(C,-7„,). 



Ces Oi sont les m variables caractéristiques, au sens d'Ampère, de l'équa- 

 tion unique d'ordre élevé, à une inconnue et aux variables w, r, qui pour- 

 rait remplacer («). 



Prenons les '^^ comme variables indépendantes; les y^ et les C/ en seront 

 des fonctions algébriques, et, si l'on pose y^ = œ% on aura 



(Lr'j + ...-!- djcr,, ■= ni dol -\- . . . -h H,^ d(f),f,, 



d'où l'on peut déduire les dérivées des y^ et celles des 'Ci par rapport aux cd,, 

 en faisant usage des formules de la théorie des systèmes orthogonaux à 

 m variables. 



En considérant la différentielle d'\/, et la décomposant en fractions 

 simples, on peut écrire 



(S) ^.J>=^^+...+ :^^, 



