SÉANCE DU l5 DÉCEMBRE 1919. 11^7 



et déterminer les A^- en o,^ . . ., 9,,,, de manière à obtenir une différentielle 

 exacte pour toute fonction w vérifiant 9 = const., en particulier, pour 

 w = "';. On obtient ainsi A,= -^> où satisfait aux équations 



f i ()0\_ à f 1 Od\ 



dont la solution générale dépend de m fonctions d'un argument. Cette 

 solution s'obtient par quadratures en observant que si l'on pose 



les Gf, qui dépendent du paramètre t, sont des solutions particulières de(T); 

 si les m premières sont, par exemple, les solutions de — ï = o, on pourra 

 prendre 



dl. 



où les a, ^ sont des constantes et les /, des fonctions arbitraires. Mais si 

 l'on désigne par c7^ l'expression qui se réduit à y, pour ^ = o, on pourra 

 remplacer la constante f5, par 0»^, en remarquant que, pour t = o,, (7, se 

 réduit à '(«. 



C'est une extension du résultat connu pour l'équation d'Euler et de 

 Poisson. [La métbode s'applique aussi dans l'étude correspondante pour 



L'identité (S) en w donne les relations 



IK'Ç'/ do,= o (/>=:;o, r, . . ., /i — 'i; n + 1, . . ., 2/0, 

 lAi'Ç" dcpi='/.dv, 



2A,Ç;'-i do, = —du 



qui forment un système complètement inlégrable [équivalent à («)], dont 

 les combinaisons intégrables s'obtiennent aisément. 



Ces combinaisons intégrables, une fois connu, égalées à zéro, défi- 

 nissent '^,, . . ., ':j,„ en u et r; A est d'ailleurs égal à ('(, ... C,«)'"- 



IL Les intégrales entières de degré pair en -y^, ^ conduisent à la même 

 expression de ^ et se traitent de même; le système qui définit 6 est un peu 

 différent. Pour celles qui sont rationnelles, et de degré zéro en (P, quelques 

 modifications sont nécessaires. 



