SÉANCE DU 22 DÉCEMBRE I919. 120 1 



générales. Une d'elles concerne le nombre p. La surface algéJjrique étant 

 considérée comme une multiplicité réelle, les courbes algébriques tracées 

 sur elle forment des cycles à deux dimensions. Or il se trouve que le nombre 

 de tels cycles indépendants est précisément égal à p. Les périodes d'une 

 intégrale double de première espèce par rapport à ces cycles sont évidem- 

 ment nulles, et l'on peut établir que, inversement, tout cycle ayant cette 

 propriété est lié aux précédents par une homologie. Incidemment une 

 question se pose : peut-il exister pour une surface une intégrale double de 

 première espèce dont toutes les périodes seraient nulles? la question reste 

 sans réponse. 



M. Lefschetz développe ensuite quelques considérations sur la notion de 

 coefficient de torsion, introduite par Poincaré, dans VAnalysis sitiis, et sur 

 les invariants qui peuvent s'en déduire, puis il applique les résultats géné- 

 raux de cette première partie à quelques cas particuliers, dont le plus 

 intéressant est le plan double. Des circonstances très variées, relativement 

 à <j, p et autres invariants, peuvent se présenter suivant la courbe de rami- 

 fication. 



Il a été question seulement jusqu'ici de fonctions algébriques de deux 

 variables indépendantes. La première partie se termine par Tétude des 

 questions analogues dans le cas d'un plus grand nombre de variables indé- 

 pendantes. Il y a à considérer alors une suite d'invariants. Des recherches 

 avaient déjà été faites dans celte voie, notamment par l'auteur lui-même. 

 Certaines parties de la théorie se généralisent facilement; pour d'autres, le 

 nombre des variables indépendantes, par exemple, leur parité joue un rôle. 

 Indiquons seulement ce résultat que le théorème précis, énoncé plus haut, 

 rattachant la recherche du nombre p à celle de certains cycles est remplacé 

 seulement par une inégalité, quand le nombre des variables est supérieur 

 à deux. 



C'est aux variétés abéliennes que sont surtout consacrées les autres parties 

 du Mémoire. Dans le cas de deux variables, ces variétés ont fait l'objet de 

 nombreuses recherches, particulièrement de la part de M. Humbert dans 

 ses beaux travaux sur les fonctions abéliennes singulières. Prenant le 

 cas d'un nombre quelconque de variables, il y a lieu d'envisager un 

 nombre k, représentant le degré de singularité, très facilement lié au 

 nombre de certaines relations arithmétiques entre les périodes. Pour deux 

 variables, on a p = i h- /t, comme l'ont montré MM. Bagnera et de Fran- 

 chise. Il semble tout d'abord que dans le cas général on ait seulement 

 l'inégalité pfi -\- k. L'égalité subsiste cependant dans tous les cas, comme 



C. R., 1919, a» Semestre. (T. 1G9, N" 25.) 1^7 



