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La Fédération française des Sociétés des Sciences naturelles et 

 MM. A. BouTARic, Emile Brumpt, E. Fauret-Fréimiet, A. Guilliermond, 

 A. Yayssière adressent des remercîments pour les subventions qui leur ont 

 été accordées sur le Fonds licnaparte. 



La Fédération française des Sociétés des Sciences naturelles, la 

 Société géologique du jXord adressent des remercîments pour les subven- 

 tions qui leur ont été accordées sur la Fondation LoulreuiL 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une propriété des polynômes d'une variable. 

 Note de M. Fritz Carlson, présentée par M. Hadamard. 



. Soit 



P (,r) :^ I + y , .r + y,'a7-4- . . . + y„ .r" , 



un polynôme en x du degré zi >> o et vérifiant P (o) = i . Il existe toujours, 

 sur le cercle | ^ | = i , des points où P | ix) | ^ i . Par conséquent, si le nombre 

 réel T vérifie 



o <T^ I, 



les arcs du cercle |a^|z=^i, où |P (^)| 1:t, ont une somme i„(' ><C ^û. Le 

 nombre n restant fixe et la condition P(o) == i étant toujours vérifiée, fai- 

 sons varier les coefficients y,, ^o, ..., y„. Alors les sommes .v,j(t) auront une 

 limite supérieure 0„(t)5 27:. 



Pour traiter un premier cas, supposons zi — i , de sorte que 



V {x) =: I + yi j:. 



Les points du plan des ^, où | P(a;) | = t, se trouvent sur le cercle 



/i i 7i I 



On peut supposer yi réel et négatif, de sorte que le centre M du cercle (i) 

 se trouve sur l'axe réel positif. Soit ACB la corde commune au cercle (i) 

 et au cercle | ^ | == i , le point milieu G étant sur l'axe positif. Alors 



sin ' ' ' := AC. 



2 



Pour une corde ABC donnée, on trouvera le centre M en cherchant sur 

 l'axe positif les points M tels que 



siu AOC : sin MAO =: 7. 



