SÉANCE DU 29 DÉCEMBRE 1919. 1^89 



Le point X décrivant l'axe réel positif en partant de O, le rapport 

 sin AOC isinXAO va en diminuant et atteindra sa valeur minimum 

 sin AOC lorsque XA touche le cercle |a;| = i en A. Par conséquent, pour 

 qu'il existe un cercle (i) passant par les points donnés A et B, il suffit que 

 sin AOC^T. On en conclut 



0, (c) =: aai'C sinô, 

 limite qui, pour t <^ i , est atteinte par le polynôme 



,/; — r^ ^»(-^ 



I — .r V ï — ' ^=1 — J^ cos 



• Si Ton veut traiter le cas général d'une manière analogue, on aurait à 

 chercher les points où la courbe |P(a;)( = T coupe le cercle |ii7| = i. 

 Pour /i^3, ces considérations me semblent très compliquées et, pour le 

 moment, je ne peux pas indiquer le valeur exacte de ^«('r). 

 Je vais montrer qiie^ pour o <; t ^ i 



de sorte qu'il existe des polynômes P(ic) avec P(o) = i et vérifiant l'inéga- 

 lité I P(a7) I ^ T sur les arcs du cercle | a; | = i dont la somme est aussi voisine 

 de 271 qu'on voudra. D'ailleurs, on peut choisir ces polynômes de telle 

 manière que les arcs considérés soient connexes. 



Théorème. — Soient ù et z deux nombres positifs, aj^bitrairement petits. Il 

 existe un polynôme P(.x-) vérifiant les conditions suivantes : 



P(o)=:i; 

 |P(e'?)|<T pour — 7: H- ôia^TT — 0. 



Pour le démontrer, choisissons un nombre réel positif, r vérifiant 



I 



r- z=(7<T. 



\i — /e'^l 

 Posons 



0(0;) — , 



X désignant un point de l'arc 



(2) a: =: e''-?, | o | 5 tî — 0, 



on aura 



I i + /\r|>|i — /e'^l; 

 par conséquent 



l9(^)|<a. 



