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Faisons une coupure suivant l'axe réel négatif, de — ^ jusqu'à — ce. 



Alors 9(^) peut être développée en une série de polynômes qui converge 

 uniformément dans tout domaine fini laissant à l'extérieur tout point de la 

 coupure. Soit D un tel domaine contenant l'arc (2) et le point i6- = o. 

 Quelque petit que soit s > o on peut donc trouver un polynôme R(a7) qui, 

 pour tout point de D, vérifie l'inégalité 



|R(.r)-o(.^.)|<f 

 Posons 



P(.r) = R(.r)-R(o)+i. 



Alors 



P(o) = i 



et, pour tout point ^ de l'arc (2), 



IP(.x')|<lR(^')!-f-lR(o) — i|<cr+i + i:=,rJ-^^, 



Pour achever la démonstration on n'a qu'à choisir t <^- — g. 



En appliquant les méthodes connues pour calculer les polynômes d'ap- 

 proximation, on pourra obtenir des bornes asymptotiques de 0„(':). Pour 

 en indiquer une seule, la méthode de M. Mittag-Leffler donnera immédia- 

 tement l'inégalité 



Ô„(r)>2 7:-/.- 1+ -) -^ [i +£(«)], 



où (pour toute valeur fixe de ^) lim£(/z) = o, k désignant une constante 

 numérique (toujours <; 12). 



Je veux ici signaler une application que j'ai faite du théorème démontré. 

 Elle concerne les séries de Taylor 



«0 -\- a^œ -\- a., .r^ -t- . . . + «„ x" -!- 



à coefficients entiers. Si le rayon de convergence est égal à l'unité^ une telle 

 série représentera ou une fonction rationnelle de x ou bien une fonction pour 

 laquelle le cercle \x\^=\ est une coupure. 



Ma démonstration complète paraîtra dans une autre publication. 



