130 SOPRA UNA SERIE SPECIALE 



si ha quindi 



m,:i\. = a + ;\.+i. (3) 



Ora, dietro le ipotesi d) fatte sui numeri m^, allorché 

 questi formano un sistema infinito si ha 





e perciò 



'■«+1 < '-*• (4) 



Se poi i numeri m^. formano un sistema finito, se p. e. 

 essi si arrestano ad m^, sarà 



anche quando dalle ipotesi m^ £ m„+, £ .... £ m, si scel- 

 gano quelle corrispondenti al segno =: che sono le più sfa- 

 vorevoli; e perciò risulterà come prima r^^,<r^. 



Decrescendo adunque le quantità r,, al crescere del loro 

 indice h , si ha, tenendo presente la (3), che 



(m/, — 1) ;•/, = a — (r,; — ;•,,+,) < a. (5) 



Sicché M/,f,, > a , mentre (m;,.— l) r;,<«"- dunque m,,r^. 

 è il primo dei multipli interi e positivi di r,, che non sono 

 inferiori ad «. In conseguenza , dato o) (cioè rj , ma) è 

 il primo dei multipli interi e positivi di a) non inferiori ad 

 a, m^r^ è il primo dei multipli interi e positivi della dif- 

 ferenza >"2 ( = ^^^^ — " ) ^^^^ ^^^ ^^^^ inferiori ad « e 

 così via. 



Se dunque ò assegnato un valore di a) nel dato Inter- 



