PER LA RAPPRESENTAZIONE D'UNA QUANTITÀ ECC. l3l 



vallo (o....a) , il sistema dei numeri m„ che soddisfano la (2) 

 è completamente determinato mediante un'operazione nota 

 ed a senso unico. 



Viceversa dato il sistema dei numeri «?,, , e perciò data 

 la serie 



1.1, 1 . 



m, m^m, rn^/ii,in^ 



(6) 



rimane determinato un valore unico della quantità x com- 

 presa fra ed « , come risulta dalla (4) che per /% = 1 

 diviene 



^ « ^ 



X < z: < a. 



^ m,— 1 ^ 



Con ciò rimane provata la prima parte del teorema 

 enunciato, e si può anche notare che essendo 



^^„(J_+_L_ + ....+ 1 1 + ^^+' 



ed r,,+, <ìjc <a , sarà 



Se — è una quantità razionale p. e. se — ==- , dove 



a OL f) 



a e b sono numeri interi positivi, le quantità r saranno, 

 come è chiaro, numeri interi e positivi; e poiché le mede- 

 sime decrescono col crescere di ^, vi sarà una di esse, T;,, 

 che è nulla per un valore finito di /^; perciò il sistema dei 

 numeri m« è, nella presente ipotesi, un sistema finito : men- 

 tre poi è evidente che nell' ipotesi contraria è infinito il 

 sistema di quei numeri. Si può quindi conchiudere che ad 



un valore razionale di — corrisponde un sistema finito di 



