132 SOPRA UNA SERIE SPECIALE 



numeri m,,, e ad un valore irrazionale di ^ un sistema in- 

 finito. Il teorema precedente rimane quindi provato. 



Come conseguenza si ha clie la serie (fi) ha una som- 

 ma che può assumere tutti i valori razionali o tutti quelli 

 irrazionali compresi nell' intervallo {0.... 1) , gli estremi e- 

 sclusi, secondo che essa è finita od infinita. 



Posto per brevità di scrittura , 



f/,,(a2,,....a„,, = /^o 



si ha r altro teorema che segue. 

 Se 



(a,,i , «1,2 , t'i./,- ,••••) 



(«72,1 , <^2,3 ,"••, «2,/- ,•■••) 



' (7) 



iPn,\ ■) ^rt,2 ■,•■•■1 ('n,/i- :■•••) 



sono n sistemi infiniti di numeri, ognuno dei quali sod- 

 disfa le condizioni (i) del sistema di numeri m„; ossia 

 se 



CI/.,! (li.,\('/.,2 O/.-.i O-z^jO/.-.-J 



sono n serie della forma (O), l'altra serie 

 1.1, 1 



«1,1 «1,1 «2,1 «l,l«2,l03,I 



1 . 1 



4^\ 



+ ,. „ „ ^ — h 



/'jO^S jP,«1,2«2,2 ■^if'l,2«2,2«3,2 ^ 



1 + ^ .+ l + . 1 



"^ D D ^y ^, ^^ D D ^ /v /v 1^ 



'^f'A 



(8) 



■^ P,P,Oi,3 ^ P,P,ch,,cu, ^ P,P,a,,3a2,3a3,3 ^ P^P,Ps 



-+■ ecc. 



