134 SOPRA UNA SERIE SPECIALE 



si trovano essi pure nelle condizioni espresse dalle (lO). Ora 

 la serie (9) può scriversi sotto la forma 



che è quella della serie (c)- Quindi la (.9) è convergente e 

 la sua somma s,, è un numero irrazionale compreso nello 

 intervallo {0 .... f). Siccome poi ^^_,i?,.,, £ vi ;,.,,+! 5,,._,.+i, cioè 

 Pi^Pi+, (^■=l, 2, ...., co), dove il segno = non può ripe- 

 tersi costantemente, così dalla (9) si deduce che 



cioè 



5 < l L_ . 



"■ «1,102,103,1 •••• «A-,1 -P, — 1 ' 



e quindi 



•s, + s, + •••• + s,, + .... + s„ 



^ -P,— 1 le..! «,,1«2,1 ■■■■ "l.lOs.l-O'n.l/ 



(«2,1 «3,1 • ■ • «/M+aa.l «1,1 • • • «».1+- • . .+ </„_l,l «„,!+«„,, +1 ) 



a,,,ar2,i...«„,i— 1 



Rimane dunque a provare che quest' ultima espressio- 

 ne è <,Jy ossia che dati n numeri interi e positivi a,b,c,....,l 

 di cui ciascuno è > 5 si ha che 



ohcd ... /> off/.... l-i-cd ....l + (/.... /+.... 4-/-I- 2. 



Ora 



abcd ^ bcd -f- hcd 

 bcd ^ ed + ed 

 ed > d -h 2 



