90 SULLE CUBICHE GOBBE 



no le due rette che si appoggiano alle quattro tangenti 

 condotte a K per i quattro punti dati. 



7. Sia a una retta per la quale possa condursi a K un 

 piano osculatore '^. In tal caso la curva corrispondente t- 

 ha nel punto di contatto di '^ con K un contatto bipunto 

 con K stessa. 



Se a è la retta comune a due piani osculatori (non 

 consecutivi), ?- ha due contatti semplici con K. Dunque: 



Yi è una infinità doppia di curve 7 che hanno con 

 K due contatti semptici. 



Sia A' un punto qualunque dello spazio, A il suo cor- 

 rispondente. Per A possono condursi a K tre piani oscula- 

 tori, i quali segandosi a due a due danno tre rette uscenti 

 da A. A ciascuna di quelle tre rette corrisponde una cu- 

 bica 7 bitagente per K e passante per A'. 



Sieno M, N, P i punti di contatto di quei tre piani 

 osculatori ; ciascun di essi è punto di contatto per due di 

 quelle cubiche, le quali perciò si toccano fra di loro. Inol- 

 tre M, N, P sono in un piano con A. Dunque: 



Per un punto quatunque dello spazio passano tre 

 cubiche 7 bitagenti per K. Quelle tre cubiche sono fra 

 loro tangenti a due a due ed i tre putiti di contatto so- 

 no in un piano col punto corrispondente al pmito dato. 

 Eccetto il caso in cui 7 degenera, essa non può avere 

 con K né un contatto quadripunto né un contatto tripunto. 

 8. Se a sega K in un punto M, la curva 7 si decom- 

 pone nella tangente t a K condotta per M e in una coni- 

 ca C. Questa conica sega K in due punti, che sono i pun- 

 ti di contatto delle due tangenti di K che si appoggiano 

 ad a in punti situati fuori di M. La conica C giace suU' i- 

 perboloide I, luogo delle corde di K che si appoggiano ad 

 a. Inoltre 11 piano "■ di C seghi la retta a In un punto 

 H'. Ora a è sull'Iperboloide I, così H' è sull' -Iperboloide 

 I e sul piano ^, è cioè un punto di C. Intanto la corda 



