SULLE CUBICHE GOBBE 97 



A tutte le rette che escono da M e giacciono nel pia- 

 no T corrispondono cubiche che toccano in M' la svilup- 

 pabile osculatrice S della cubica fondamentale (12). Dun- 

 que S tocca in M' la sviluppabile, cioè 2 tocca S lungo la 

 curva K, 



Ora S e 2 hanno in comune soltanto la K e le tre 

 tangenti nei punti in cui K sega il piano ^. Le tre tangenti 

 sono semplici per le due superfìcie, e quindi nella inter- 

 sezione di queste contano come un luogo del terz' ordine. 

 La cubica K essendo cuspidale per S e semplice per S, e 

 inoltre S e S toccandosi lungo K , la K conta per nove 

 nell'ordine della curva d' intersezione di S con S. 



21. Si considerino le superfìcie S corrispondenti ai pia- 

 ni di un fascio , e sieno 3^,2^ due di queste superfìcie. 

 Esse toccano entrambe secondo K la sviluppabile S (20), e 

 quindi si toccano fra loro lungo tutta quella curva. Nel luogo 

 del nono ordine che costituisce la intersezione di quelle due 

 superfìcie, la K conta perciò come due cubiche. Inoltre Sj 

 e S^ si segano lungo la cubica y, corrispondente all'asse del 

 fascio. Ora > e K sono indipendenti dalle superfìcie S, e S^,, 

 cioè tutte le superfìcie corrispondenti ai piani del fascio 

 ora considerato passano per ■> e si toccano lungo K. 



Per un punto qualunque A' dello spazio passa una sola 

 di queste superfìcie S, ed è quella corrispondente al piano 

 del fascio determinato dal punto A corrispondente del 

 punto A'. Dunque : 



A tutti i piani di un fascio corrispondono superficie S 

 appartenenti ad un fascio. Tutte queste superficie si toc- 

 cano lungo K , che conta per sei nelV ordine della base 

 del fascio. La base è poi completata dalla cubica y cor- 

 rispondente all' asse del fascio. 



22. Segue pure : 



A tutti i piani di una stella di centro corrispon- 



