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Donc, si A et 1> sont deux points quelconques de la tangente 



au point M d'une conique ^, A, et B f les points d'intersection de 



la normale en M avec les perpendiculaires abaissées du point A 



sur les polaires de A et B, le rayon de courbure de 2 en M est 



donné par la formule 



A,B, . BM 



' = -^B-' 



Si le point B est à l'infini, sa polaire est le diamètre passant 

 par le point M, et on retrouve un théorème dû à Ribaucour : 



P = A 4 B 4 (*). 



40. Soient g une génératrice d'une surface gauche 2, M, M', 

 A, B quatre points de la génératrice g\ p, v', a, |3 les plans 

 tangents en ces points; 



(MAM'B) = (|**f*'P). 



Si les points M et M' sont infiniment voisins, 



MM' MA . MB sin (a{3) 



lim 



sin (pa') AB sin (a^) . sin (ou] 



MM' 





En désignant par n la normale à 2 au point M, lim ^ 

 est le paramètre de distribution /;, relatif à la génératrice n du 

 paraboloïde des normales à S le long de g. Les plans des sec- 

 tions principales de 2 au point M sont tangents à ce parabo- 

 loïde, aux centres de courbure principaux de S au point M; 

 donc, en représentant par Ri et R 2 les rayons de courbure prin- 

 cipaux de 2 en M, 



R,R 2 = p 2 ; 



par suite, 



MA 2 . MB 2 sin 2 (a(3) 



R,R 2 = L-Li . . (47) 



Xff sin 2 (afx).sin 2 ((3a) 



(*) Ribaucour, Nouvelles Annales de mathématiques, (2), t. XII, p. 172. 

 — Servais, Sur la courbure des sections coniques. (Nouvelles Annales de 



MATHÉMATIQUES, (3), t. XI, p. 426.) 



