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Enfin, le lieu des points pour lesquels le produit des quo- 

 tients considérés est constant, est une ellipse semblable à 

 i'ellipse donnée et de même centre. 



De la seconde des formules (13), on tire une relation entre 

 les rayons de courbure R lf R 2 , R 3 , R* de l'ellipse aux pieds 

 des quatre normales abaissées du point (x, y) sur cette courbe, 

 à savoir 



A, fu k z k A cr -+- b 1 



Rj Rî Ré R; {abf 



2° Les équations (12) donnent aussi 



^ 1 2c- ^ 1 2c- 



(14) .... x2- = — > y2r = 7T 



Donc : La somme des rapports de l'abscisse (ordonnée) d'un 

 point quelconque dans le plan d'une ellipse, à l'abscisse (ordon- 

 née) du pied de l'une des normales à cette ellipse, tirées par le 

 point considéré, est constante. 



On a aussi 



f » ^i OC' ^ X 



-= 2 Z~ 



(13) 



4a 2 6 2 — ■ a-jr — b' 2 y- 



Donc on a l'égalité 



do) .... *«2 — ^ — -• 



laquelle fait voir que le lieu des points tels que la somme des 

 produits, deux à deux, des rapports ~-,~t — » — » ^ constante, 

 est une ellipse. Si X est la valeur de cette constante, l'équation 

 de ce lieu est 



crar -+- b'ir = c* — o 4 A. 



