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Si l'on remarque maintenant que les tangentes menées à 

 l'ellipse proposée aux points M etN sont perpendiculaires à AO, 

 on peut énoncer le résultat précédent de la manière suivante : 



Si un point se déplace de manière que la .somme des carrés de 

 ses distances aux deux tangentes à une ellipse, perpendiculaires 

 à la droite qui l'unit au centre, reste égale à 2m*, il décrit une 

 lemniscate elliptique, quand m > a; une lemniscate hyper- 

 bolique, quand b < m < a; une lemniscate de Bernoulli, quand 

 m* = |(a*-t- b 2 ). 



Si m* = a\ l'équation (26) se réduit à 



(26') x 2 -*- ?/ 2 = ±cy, 



et représente deux circonférences de rayon égal à s c et ayant 

 pour centres les points 0, dr = c . 



On a donc ce théorème : Si Von joint un point quelconque A 

 des circonférences i26') au centre de l'ellipse et si Von mène les 

 tangentes à l'ellipse perpendiculaires à OA, la somme des carrés 

 des distances du point A aux deux tangentes est constante et 

 égale à 2a 2 . 



$3. On déduit encore de l'équation (24) 



/,-,A" 2 = 



or 2 -*- \f 



par conséquent, le produit kjk reste constant quand le point 

 (x, g) décrit la courbe ayant pour équation 



(27) . . (a* -t- %ff = (a 8 db m*) x 1 -+- {b* ± m 2 ) y*. 



Donc, /f ititt dlcrïl /jar un /jow/ A gwt se déplace de manière 

 que le produit de ses distances aux deux tangentes à une ellipse, 

 perpendiculaires à la droite OA, reste constant et égal à ± m*, 

 est une lemniscate elliptique quand la constante est positive ou 



