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Pour obtenir l'équation différentielle de la famille isotherme 

 conjuguée, il suffit de changer, dans le premier membre de 

 l'équation ci-dessus, le signe du second terme. En multipliant 

 ces équations membre à membre, on trouve l'équation diffé- 

 rentielle du système orthogonal et isotherme le plus général 

 composé de cercles : 



du 2 



l»> + ?) — (P— P)-*- 'Mri ■*- r)— [P + P ■*- »(«— fl)]«T 



</*/? 



J< (a -+- g) -+- (3 — p -+- 2u, ( rî " — r) -+- [$ + p — i (a — çf)] wj[| a 



Enfin, la comparaison de cette équation et de l'équation (4) 

 conduit aux expressions des fonctions de Weierstrass qui carac- 

 térisent la surface minima la plus générale dont les lignes de 

 courbures sont planes : 



. \ 



)i(a -+-?)— (p-f-p)-*-2i/(yi-*-r)— [(3-h/)-t-i'(a — q)]u*\*' 

 { ) 



i{Ul) = li(*+.q) + p—p + îu i (yi-r) + [p-*-p--i(*--q)]u i l \ i 



Le problème est donc résolu. Toutefois, une discussion est 

 nécessaire pour dégager de ces formules les surfaces minima 

 réelles, lesquelles sont connues, et les surfaces imaginaires, 

 dont l'existence a été annoncée. 



Désignons par la notation (0,D) le plan passant par le point 

 et la droite D. La droite D peut être isotrope ou non, le plan 

 (0,D) peut être isotrope ou non; de là, les hypothèses 

 suivantes : 



La droite D n'est pas isotrope, non plus que le plan (0,D); 



La droite D et le plan (0,D) sont isotropes; 



La droite D est isotrope, le plan (0,D) ne l'est pas; 



La droite D n'est pas isotrope, mais le plan (0,D) est iso- 

 trope. 



Ce dernier cas se ramène au précédent, car si l'on désigne, 



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