( 3 ) 



entre les équations (2), est du huitième degré; elle a été donnée 

 l>ar Catalan (*). Mais l'étude de ces courbes peut être faite 

 directement au moyen des équations de Cauchy, ainsi que nous 

 allons le montrer. 



9. En résolvant les équations (2) par rapport à x et y, on 

 obtient les valeurs 



0-+- a 2 v /G 1 — W 



(•>) \ 



qui donnent les coordonnées d'un point de la courbe en 

 fonction du paramètre arbitraire G. Les points réels de la 

 courbe correspondent aux valeurs réelles de G comprises entre 

 bk et ak, et entre — bk et — ak. Pour chaque valeur de k, ces 

 équations déterminent une courbe algébrique avec deux 

 branches réelles, dont l'une se rapporte à R = p -+- k et l'autre 

 à R = p — k. 

 Des formules (2) on déduit 



(4) 



(4 



rfx V a *k* — e 2 y(e -f- a-) 



On peut déduire des équations (3) et (4) la forme des 

 (*) Nouvelles Annales, 1844, t. III. p. 553. 



