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l'axe <»//, en chacun desquels //' a deux valeurs réelles quand 

 k < ^, deux valeurs imaginaires quand k > j. Dans le pre- 

 mier cas, la courbe a deux points doubles réels sur l'axe des 

 ordonnées (qui coïncident quand &=* a) ; dans le second cas, 

 elle a deux points isolés. 



2° Soit maintenant a > k > />. La courbe a quatre points 

 doubles, qui sont tous imaginaires. Les coordonnées de ces 

 points résultent des équations (5) et (6). 



3° Si l'on a fc<fb, la courbe possède deux points doubles 

 réels (qui coïncident quand k = b), dont les coordonnées sont 

 déterminées par les formules (3), et elle a deux points doubles 

 imaginaires, dont les coordonnées résultent des formules (6). 

 Les deux points réels sont isolés quand k < — . 

 De cette discussion, il résulte le théorème suivant : 

 Chacune des courbes algébriques représentées par les équa- 

 tions (3) a, à distance finie, quatre points doubles. Deux de ces 

 points sont toujours imaginaires; les deux autres sont aussi 

 imaginaires quand k est compris entre b et a, et ils sont réels 

 dans le cas contraire. Si k > — ou k < ^, ces derniers points 

 •sont isolés. 



4. Les valeurs que prend H aux points de rebroussement 



dx ~ dy 



dô 



par conséquent, données par l'équation 



r -4- arb-lr = 0. 



doivent satisfaire aux équations ^ = 0, ^1 = 0; elles sont, 



On en conclut qu'il existe quatre rebroussements réels 

 quand la racine réelle de cette équation est comprise entre 

 — bk et — ak, c'est-à-dire quand k satisfait aux conditions 

 — < k < j, comme d'ailleurs nous l'avions déjà vu ; la courbe 

 a en outre huit points de rebroussement imaginaires. Quand ces 

 conditions ne sont pas satisfaites, la courbe a douze point* de 

 rebroussement imaginaires. 



