(8) 



Les points de rebroussement peuvent encore être obtenus 

 d'une autre manière. Ils doivent, en effet, satisfaire à l'équa- 

 tion p* = k~, p représentant, comme ci-dessus, le rayon de 

 courbure de l'ellipse au point (a, (3) correspondant; la rela- 

 tion p 2 = ¥ donne 



(7) o*f 3 + 6V = B 3 V. 



L'équation (7) représente trois ellipses, une réelle et deux 

 imaginaires, lesquelles déterminent, au moyen de leurs inter- 

 sections avec l'ellipse proposée, douze points, dont quatre sont 

 réels quand k est compris entre — et ~. Les centres de cour- 

 bure en ces points de l'ellipse proposée sont les points de 

 rebroussement demandés. 



A l'égard des ellipses (7), nous remarquerons que, si 2a, et 2/>, 

 représentent leurs axes, on a 



■.-\/?- >-v^ 



d'où la relation 



a, a- 



5. Dans l'étude précédente, on n'a pas considéré le cas 



de k ; = Ç, ni celui de k = — . 



ni. a 



Si k = -£*, les points de rebroussement réels et les points 

 doubles réels qui existent sur l'axe des ordonnées quand 

 « < k < j, forment, en se réunissant en les extrémités du 

 grand axe de la développée de l'ellipse, deux points triples, où 

 la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. La courbe a 

 alors la forme d'une ovale. 



Si k=^— } les points de rebroussement réels et les points 

 doubles réels, situés sur l'axe des abscisses quand b > k > — , 



