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courbe on peut tirer deux normales différentes, qui satisfont 

 à cette condition; par les points de rebroussement, deux 

 normales coïncidentes, et par les points triples, trois normales 

 coïncidentes. Comme les points de rebroussement des diffé- 

 rentes courbes parallèles à l'ellipse coïncident avec les points 

 de sa développée, celle-ci est le lieu des points par lesquels 

 passent deux normales à l'ellipse coïncidentes; elle sépare la 

 région du plan qui contient les points par lesquels on peut 

 tirer à l'ellipse quatre normales réelles, de la région du plan 

 qui contient les points par lesquels on ne peut tirer que deux 

 normales. Ces résultats sont bien connus. 



10. De ce qui précède, il résulte que par chaque point [x, y) 

 du plan d'une ellipse passent quatre courbes parallèles à 

 l'ellipse; deux d'entre elles sont coïncidentes quand le 

 point {x, y) est sur la développée ou sur les axes; trois, quand 

 le point est un point de rebroussement de la développée. Si le 

 point appartient à l'aire extérieure à la développée, deux de ces 

 courbes sont imaginaires. 



Cela posé, si l'on ordonne la première des équations (2) par 

 rapport à 9, on obtient 



e * _h 2 (a 2 -*- 6-) t 3 -+- (6 l -+- a* -♦- 4a 2 6- — aV — b*y*)(r 

 -*- 2 (a*6 2 -*- a*b* — a 2 6V 2 — arb-y-) e 

 + aW — aW — 6 2 ay = 0. 



Cette équation donne les valeurs que prend 9 au point con- 

 sidéré; chacune de ces valeurs caractérise une toroïde passant 

 par le point [x, y). 



1° En représentant par 9 t , 9.,, 9 3 , 9 4 les quatre racines de 

 cette équation, on a 



'8) . . . . e t h- h -+- e 5 -+- 6i = — 2 {a- -+- fc 2 ). 



Donc la somme des quatre valeurs que prend 9 en un point 



