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Portons ces valeurs de m et v dans les formules (7), nous 

 obtiendrons les valeurs des coordonnées de la surface expri- 

 mées au moyen des paramètres des lignes de courbure : 



x = [x{\ — %) + fl(\ -+- i)l 1 — ^a^-^-x 2 — - A, 



\ o ôi 3» / 



/ 4 1 1 



tJ = [A(l — i) -+- 44 -4- i)] 1 + -\u+ -A» -*- — ^ , 



V 3 di 3* y 



2 = 4A i u. 



De ces équations, on tire les suivantes : 



rx 



IX 



^ 2 tj\(l--t)-*-£(l +t)l=0, 



qui permettent de reconnaître de nouveau que les lignes de 

 courbure X = const. et u.== const. sont planes. 



8. Dans ses Leçons sur la théorie des surfaces (l re partie, 

 p. 17), M. Darboux a obtenu les surfaces minima réglées 

 réelles par une méthode qui s'applique au cas des surfaces 

 imaginaires. Nous allons la rappeler, parce qu'elle nous con- 

 duira à une nouvelle propriété des surfaces qui nous occupent. 



Sur toute surface minima réglée, les génératrices rectilignes 

 sont les normales principales des différentes asymptotiques 

 curvilignes. Il suit de là et de la théorie des courbes de M. Ber- 

 trand, que l'une quelconque des asymptotiques curvilignes a 

 ses deux courbures constantes. Cette condition est nécessaire 

 et suffisante : La surface minima réglée la plus générale est le 

 lieu des normales principales de la courbe la plus générale dont la 

 courbure et la torsion sont constantes. Si l'on se borne aux sur- 

 faces réelles, la solution s'achève immédiatement. On sait, en 

 effet, qu'il n'y a qu'une seule courbe réelle à courbures 

 constantes, c'est l'hélice tracée sur un cylindre circulaire droit, 

 d'où il résulte que l'unique surface minima réglée réelle est la 



