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On sait que le problème de la déformation infiniment petite 

 d'une surface se ramène à celui de la détermination des sur- 

 faces qui correspondent à la surface donnée avec orthogonalité 

 des éléments correspondants. Pour résoudre ce dernier pro- 

 blème, dans le cas qui nous occupe, nous prendrons comme 

 point de départ le théorème suivant, dû a Ribaucour (*) : 



Soient (M) et (iMj) deux surfaces qui se correspondent avec 

 orthogonalité des éléments; si, par les points de (Mj), on mène des 

 droites D parallèles aux normales de (M), elles forment une con- 

 gruence qui jouit des propriétés suivantes : 1° Elle admet la sur- 

 face (i\Ij) comme surface moyenne; 2° Les plans focaux de D sont 

 perpendiculaires aux tangentes asymptotiques de (M) en M ; autre- 

 moi t dit, la représentation sphérique des développai les de la con- 

 gruence est identique à la représentation sphérique des asympto- 

 tiques de la surface (M). 



Lorsque la surface (M) est minima, les droites D sont nor- 

 males à une surface (L) qui a même représentation sphérique 

 de ses lignes de courbure que les asymptotiques de la sur- 

 face (M). Si donc il s'agit de déterminer la surface (M|) la plus 

 générale qui correspond à (M) avec orthogonalité des éléments, 

 on commencera par déterminer la surface (Z) la plus générale. 

 La surface (Mj) sera la développée moyenne de (D). 



12. Appliquons d'abord ces considérations à la surface de 

 vis à filet carré. La représentation sphérique des asympto- 

 tiques de cette surface est constituée par une famille de méri- 

 diens et par les parallèles correspondants, les plans de ces 

 derniers n'étant pas isotropes. La surface (E) qui admet ce 

 système orthogonal comme représentation sphérique de ses 

 lignes de courbure est une surface moulure, car les lignes de 

 courbures d'un système sont situées dans des plans parallèles, 



(*) A. Ribaucour. Étude des élassoïdes, p. 230. 



G. Darboux. Leçons sur la théorie des surfaces, 4 e partie, pp. 13 et 61. 



Nous avons également démontré ce théorème dans une note insérée 



au Bulletin de la Société mathématique de France, t. XXIII, p. 198; 189.*). 



