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d'où 



a = t* ■+■ V , {3 = ti — v, 



u et f seront les paramètres des lignes de courbure. 



Portons ces valeurs de a et de (3 dans l'équation du plan 

 tangent ; celle-ci deviendra 



[i—u*+v*)x+i(l+u i -v î )y+%uz-+'f{Zu)-*-f(2v)==0. (12) 



Un point quelconque de la surface s'obtient en adjoignant à 

 cette équation les équations qu'on en déduit en la dérivant par 

 rapport à u et à v, savoir : 



— ux -+- iuy -+- z -+- /'(2u) = . . . . (15) 

 vx — ivy -+- p'(2v) = (14) 



Ces équations, prises isolément, représentent les plans des 

 lignes de courbure. On voit ainsi que les plans des lignes de 

 courbure v = const. sont perpendiculaires à la droite z = 0, 

 x — iy = 0, et que les plans des lignes u = const. sont paral- 

 lèles à cette droite. Le théorème est donc démontré. 



16. La forme de l'équation du plan tangent à la surface 

 quasi-moulure conduit rapidement aux expressions des coor- 

 données de sa développée moyenne (M { ). 



Soit 



(1 — *p)x -h i{\ -4- *$)y -+- (a -+- p)z = § 



l'équation du plan tangent à une surface quelconque. Les 

 coordonnées des centres de courbure principaux sont données 

 par les formules (*) 



X — ÎY = s db 1/77, 



X -+- «Y -= — a(3(.s db VTl) -h *p -+- pq — ç, ) (15) 



2Z = (a -+- p){s rb 1/77) — p — q. 



(*) G. Darboux. Leçons sur la théorie des surfaces, l re partie, p. 



