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même titre que les solutions réelles. Au surplus, la surface 

 signalée par Ribaucour possède des propriétés géométriques 

 remarquables, et parmi ses transformées fwmographiques se 

 trouve une surface réelle. Cette circonstance justifiera, nous 

 l'espérons, l'étude détaillée que nous avons faite de cette sur- 

 face, laquelle sera appelée, dans la suite, surface minima de 

 Ribaucour. 



Le présent travail est divisé en quatre Sections. 



Dans la Section I, après avoir rappelé quelques formules 

 relatives à la théorie générale des surfaces minima, nous indi- 

 quons comment on peut déterminer une surface minima, con- 

 naissant la représentation sphérique de ses lignes asympto- 

 tiques ou de ses lignes de courbure. 



L'étude des surfaces minima réglées fait l'objet de la Sec- 

 tion II. Nous déterminons d'abord les fonctions de Weierstrass 

 qui conviennent à ces surfaces, puis, la surface de vis à filet 

 carré étant bien connue, nous nous attachons principalement 

 à la surface minima de Ribaucour, laquelle est algébrique et 

 du troisième ordre. Nous en déterminons l'élément linéaire, 

 les lignes asymptotiques et les lignes de courbure. Ces der- 

 nières sont planes ; quant aux lignes asymptotiques, ce sont des 

 cubiques gauches dont les deux courbures sont constantes, pro- 

 priété qui rapproche la surface minima de Ribaucour de la 

 surface de vis à filet carré. La réciproque est vraie : toute 

 courbe à courbures constantes est une ligne asymptotique 

 d'une surface minima réglée. Ce théorème nous donne, sans 

 nouveau calcul, toutes les courbes en question. A ce sujet, 

 nous relevons une erreur commise par M. Lyon dans l'étude 

 du même problème. 



Vient ensuite la démonstration de la propriété suivante, 

 commune aux deux surfaces, et qui a été signalée par M. Lie : 



Chacune des surfaces minima réglées peut être engendrée d'une 

 infinité de manières par la translation d'une courbe. 



D'autres analogies entre les deux surfaces apparaissent dans 

 l'étude de leur déformation infiniment petite par laquelle se 

 termine la deuxième Section. 



