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et cette équation, jointe à l'équation (2), montre que sur la 

 sphère, comme sur la surface, u et u { sont les paramètres des 

 lignes de longueur nulle. 



2. Les équations (3) et (4) mettent en évidence une proposi- 

 tion importante : 



Sur toute surface m initiai, les réseaux formés par les lignes 

 asymptotiques et par les lignes de courbure sont isothermes, et il 

 en est de même de leur représentation sphérique. 



Des mêmes équations découle cette autre conséquence, 

 essentielle pour ce qui va suivre : 



Un système orthogonal et isotherme étant tracé sur la sphère 

 de rayon un, on pourra, par de simples quadratures, trouver les 

 surfaces minima qui admettent ce système orthogonal comme 

 représentation sphérique de leurs lignes asymptotiques ou de leurs 

 lignes de courbure. 



11 suffira, en effet, d'identifier soit l'équation (3), soit l'équa- 

 tion v 4) avec l'équation, en coordonnées {u, u { ), du système 

 donné. On obtiendra ainsi les expressions des fonctions $ (u), 

 &t (u{) t et il restera à effectuer les quadratures qui figurent dans 

 les formules de Weierstrass. Les fonctions S (u), S\ [u,[) ne 

 seront déterminées qu'à un facteur constant près; par suite, 

 dans l'un et l'autre cas, les surfaces satisfaisantes seront homo- 

 thétiques à l'une d'elles par rapport à l'origine. En se plaçant 

 au point de vue géométrique, on peut donc dire qu'il n'y a, 

 dans chaque cas, qu'une seule surface répondant à la question. 



Cette théorie générale montre que pour déterminer les sur- 

 faces minima réglées ou à lignes de courbure planes, il suffira 

 de connaître la représentation sphérique de leurs asympto- 

 tiques ou de leurs lignes de courbure. 



II. 



LES SURFACES MINIMA RÉGLÉES. 



3. La représentation sphérique des asymptotiques de la sur- 

 face minima réglée la plus générale s'obtient aisément. 



Les asymptotiques rectilignes ont pour images des grands 



