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cercles de la sphère et les asymptotiques curvilignes, des 

 courbes qui, conjointement avec les premières, forment un 

 système orthogonal et isotherme. Or, lorsque l'une des familles 

 d'un système orthogonal et isotherme, tracé sur la sphère, est 

 composée de cercles, les courbes de l'autre famille sont égale- 

 ment des cercles, et les cercles de chaque famille passent par 

 deux points fixes (*). Les cercles images des droites de la sur- 

 face passent donc par deux points P, P' diamétralement oppo- 

 sés; quant aux asymptotiques du second système, il leur cor- 

 respond des cercles situés dans des plans perpendiculaires au 

 diamètre PP'. Le système orthogonal cherché est donc com- 

 plètement défini. 



Cherchons maintenant l'équation différentielle de ce système 

 orthogonal. Pour obtenir les résultats les plus simples, nous 

 choisirons différemment les axes de coordonnées suivant que le 

 diamètre PP' sera isotrope ou non. 



Premier cas : La droite PP' n'est pas isotrope. Prenons cette 

 droite comme axe des z, l'origine des coordonnées étant tou- 

 jours au centre de la sphère. 



Les cercles de l'une des familles sont situés dans les plans 



D'après la troisième équation (5), ils ont pour équation finie, 

 en coordonnées (m, a^), 



uu { — a, 



et, par suite, pour équation différentielle, 



du du. 



— -+- — = 0. 



U U, 



La famille isotherme conjuguée est définie par l'équation 



du du t 

 ^ = 0, 



(*) G. Darboux. Leçons sur la théorie des surfaces, l r « partie, p. 167. 



